2011-天津卷文-04 单-充要条件判定

本题导读

本题考查集合的运算，以及充分必要条件。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(文)） 设集合 $A=\{x\in \mathrm{R}\mid x-2>0\}$，$B=\{x\in \mathrm{R}\mid x<0\}$，$C=\{x\in \mathrm{R}\mid x(x-2)>0\}$，则"$x\in A\cup B$"是"$x\in C$"的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：先化简 $A$、$B$、$C$
2. 步骤2：比较 $A\cup B$ 与 $C$

✅【答案】

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C是充分必要条件

✍【详细解析】

Abstract

$A=\{x\mid x>2\}$，$B=\{x\mid x<0\}$，故 $A\cup B=\{x\mid x<0$ 或 $x>2\}$。

$x(x-2)>0$ 等价于 $x<0$ 或 $x>2$，即 $C=A\cup B$。两条件互相等价，故为充分必要条件，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次不等式与集合运算；充分必要条件的等价判定

核心方法：先化简每个集合，再看两个"$x\in \cdots$"所成集合是否相等

避坑指南：$x(x-2)>0$ 的解是”两根之外”$x<0$ 或 $x>2$，误写成 $0<x<2$ 会误判；集合相等则互为充要。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：充要条件判定题与 2012-天津卷文-05、2011-大纲卷文-05、2013-天津卷文-04 同族。

结论推广：推广：$x(x-a)>0⟺x<0$ 或 $x>a$（$a>0$）；把因式积的不等式先转化为”$<0$ 取两根之间、$>0$ 取两根之外”。

方法推广：充要条件小题：先把两个条件化成最简集合，再比较包含关系；相等即充要。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-05 单-充分必要条件
• 2011-大纲卷文-05 单-充分不必要条件
• 2013-天津卷文-04 单-充分必要条件