2022-北京卷-16 解-解三角形

本题导读

本题考查二倍角公式。核心在于代数法/公式化简代入法、几何逻辑/边角互化的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年北京卷） 在 $△ABC$ 中，已知 $\sin 2C=\sqrt{3}\sin C$．

（Ⅰ）求 $\angle C$ 的大小；

（Ⅱ）若 $b=6$，且 $△ABC$ 的面积为 $6\sqrt{3}$，求 $△ABC$ 的周长．

🔍【思路分析】

破题导航

本题是标准的解三角形综合题，分为两个明确的步骤：

• 第（Ⅰ）问（求角）：已知条件含有二倍角 $2C$ 和单角 $C$，首选二倍角正弦公式 $\sin 2C=2\sin C\cos C$ 进行统一。化简时要注意结合三角形内角的范围 $C\in (0,\pi )$ 说明 $\sin C\ne 0$，从而求出 $\cos C$ 的值，进而求出角 $C$。

• 第（Ⅱ）问（求周长）：题目已知角 $C$、边 $b$ 以及三角形的面积 $S$。

  1. 首先利用面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 建立方程，求出边 $a$。

  2. 已知两边（$a,b$）及其夹角（$C$），利用余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 即可求出第三边 $c$。

  3. 最后将三边相加求得周长。

✅【答案】

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(1) $C=\frac{\pi }{6}$

(2) $△ABC$ 的周长为 $6+6\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）求 $\angle C$

因为在 $△ABC$ 中，已知：

$\sin 2C=\sqrt{3}\sin C$

利用二倍角正弦公式展开左边，得：

$2\sin C\cos C=\sqrt{3}\sin C$

因为 $C$ 为 $△ABC$ 的内角，所以 $C\in (0,\pi )$，

从而 $\sin C>0$，即 $\sin C\ne 0$。（注：解答题中此步必须交代，否则直接约分会扣步骤分）

两边同除以 $2\sin C$，得到：

$\cos C=\frac{\sqrt{3}}{2}$

又因为 $C\in (0,\pi )$，

所以 $\angle C=\frac{\pi }{6}$。

（Ⅱ）求 $△ABC$ 的周长

已知 $△ABC$ 的面积 $S=6\sqrt{3}$，且 $b=6$。

由三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 可得：

$\frac{1}{2}\times a\times 6\times \sin \frac{\pi }{6}=6\sqrt{3}$

即：

\frac{1}{2} \times a \times 6 \times \frac{1}{2} = 6\sqrt{3}$$$$\frac{3}{2}a = 6\sqrt{3} \implies a = 4\sqrt{3}

现在已知 $a=4\sqrt{3}$，$b=6$，$C=\frac{\pi }{6}$。

在 $△ABC$ 中，由余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 可得：

c^2 = (4\sqrt{3})^2 + 6^2 - 2 \times 4\sqrt{3} \times 6 \times \cos\frac{\pi}{6}$$$$c^2 = 48 + 36 - 48\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$$$$c^2 = 84 - 72$$$$c^2 = 12

因为 $c>0$，所以解得 $c=2\sqrt{3}$。

所以，$△ABC$ 的周长为：

$l=a+b+c=4\sqrt{3}+6+2\sqrt{3}=6+6\sqrt{3}$

答：$△ABC$ 的周长为 $6+6\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

本题属于解三角形的基础题型，主要考查学生对公式的熟练程度以及运算的准确性。难度适中。

考点归纳：

1. 统一角度：看到倍半角关系（如 $2C$ 与 $C$），第一反应是使用二倍角公式降幂扩角或升幂缩角。

2. “知三求二”原则：在解三角形中，只要知道了三个独立元素（其中至少有一条边），就能求出其余所有元素。本题在第（Ⅱ）问中，利用面积实际上隐性地给出了边 $a$，转化为“已知两边一夹角”的标准模型，顺理成章地使用余弦定理。

易错点提示：

1. 等式两边约去含有未知数的项：在第（Ⅰ）问中处理 $2\sin C\cos C=\sqrt{3}\sin C$ 时，切忌不作说明直接划掉 $\sin C$。必须严谨地说明 $C\in (0,\pi )⟹\sin C>0$ 才能进行约分。

2. 计算失误：在使用余弦定理计算 $c^2$ 时，项数较多，尤其带有根号，极易在 $-2ab\cos C$ 这一项算错符号或漏乘系数，需要步步为营。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形
• 2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形
• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形