2022-天津卷-08 单-组合体体积

本题导读

本题考查几何体的体积，以及三棱柱与棱锥的性质。

📌【题干】

Question

（2022年天津卷） 如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形。已知直三棱柱的底面形状为顶角为 $120^{\circ }$，腰为 $3$ 的等腰三角形，则该几何体的体积为()

A. 23　　　　　　　B. 24　　　　　　　C. 26　　　　　　　D. 27

🔍【思路分析】

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该几何体由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉重叠而成。

1. 分析三棱柱底面：根据等腰三角形的性质求出底边的长（即三棱柱的高/长度）和三角形的高度。

2. 计算单个三棱柱体积：$V_{\text{柱}}=S_{\text{底}}\times h$。

3. 识别重叠部分：两个三棱柱交叉后，其公共部分（重叠部分）是一个底面为正方形、高为三棱柱高度的四棱锥。

4. 应用容斥原理：总体积 $V=2\times V_{\text{单柱}}-V_{\text{重叠部分}}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算直三棱柱底面三角形的尺寸

设底面等腰三角形为 $△ABC$，其中 $AB=AC=3$，$\angle BAC=120^{\circ }$。

• 底边长：作高线 $AD\perp BC$，在直角 $△ABD$ 中，$\angle B=30^{\circ }$。

  $BC=2\times AB\times \cos 30^{\circ }=2\times 3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。

• 三角形的高：$h_{△}=AB\times \sin 30^{\circ }=3\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。

第二步：计算单个直三棱柱的体积

由于重叠底面为正方形，且底面边长即为三棱柱底边的长度 $3\sqrt{3}$，所以三棱柱的长度（高） $L=3\sqrt{3}$。

• 单个三棱柱体积 $V_1=S_{△}\times L=\left(\frac{1}{2}\times 3\sqrt{3}\times \frac{3}{2}\right)\times 3\sqrt{3}$

• $V_1=\frac{9\sqrt{3}}{4}\times 3\sqrt{3}=\frac{81}{4}$。

第三步：计算重叠部分的体积

两个三棱柱垂直相交，其重叠部分是一个底面边长为 $3\sqrt{3}$，高为 $\frac{3}{2}$ 的正四棱锥。

• 重叠部分体积 $V_2=\frac{1}{3}\times S_{\text{正方形}}\times h_{△}$

• $V_2=\frac{1}{3}\times (3\sqrt{3}{)}^2\times \frac{3}{2}=\frac{1}{3}\times 27\times \frac{3}{2}=\frac{27}{2}$。

第四步：求总体积

根据容斥原理，总体积为两个三棱柱体积之和减去重叠的一次：

• $V=2V_1-V_2$

• $V=2\times \frac{81}{4}-\frac{27}{2}=\frac{81}{2}-\frac{27}{2}=\frac{54}{2}=27$。

故选：D。

本题将立体几何知识与中国传统文化相结合，考查了学生的直观想象能力。解题难点在于对重叠部分形状的判断。如果学生不能识别出重叠部分是四棱锥，可能会导致重复计算或漏算。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 关键模型：两个底面为等腰三角形的直三棱柱垂直交叉，若棱线相交于一点，重叠部分必为棱锥。

2. 计算技巧：在处理带有根号的长度计算时，平方运算（如面积计算）往往能消去根号，使最终结果为整数。

3. 建筑几何：此类题目要求学生平时多观察生活中的几何结构，增强空间感。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-06 单-三棱柱的高
• 2009-福建卷文-05 单-三视图俯视图
• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积