2009-福建卷文-05 单-三视图俯视图

本题导读

考查三视图。正、侧视图均为边长 $1$ 的正方形，几何体高为 $1$，体积 $\frac{1}{2}$，故俯视图面积为 $\frac{1}{2}$，只有直角三角形符合，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(文)） 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 $1$ 的正方形，且体积为 $\frac{1}{2}$.则该几何体的俯视图可以是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正、侧视图都是边长 $1$ 的正方形，说明几何体在左右、前后两个水平方向的投影长均为 $1$，且高为 $1$。
2. 体积 $\frac{1}{2}=$ 俯视图面积 $\times$ 高，故俯视图面积为 $\frac{1}{2}$。
3. 四个选项的面积：正方形 $1$、圆 $\frac{\pi }{4}$、直角三角形 $\frac{1}{2}$、扇形 $\frac{\pi }{4}$，只有直角三角形符合。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

正视图和侧视图都是边长为 $1$ 的正方形，说明几何体的高为 $1$，其底面在两个水平方向的长度均为 $1$。 因而俯视图作为底面时，几何体的体积等于俯视图面积乘以高，即俯视图面积应为 $\frac{1}{2}$。 四个图形的面积分别为 $1$、$\frac{\pi }{4}$、$\frac{1}{2}$、$\frac{\pi }{4}$，只有选项 C 的面积为 $\frac{1}{2}$。 取该直角三角形为底面并取高为 $1$，其正视图和侧视图均为边长 $1$ 的正方形，故选 C （注：原卷印”该集合体”，系”该几何体”排版之误。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图与几何体体积

核心方法：“体积 = 俯视图面积 × 高”反求底面

避坑指南：正、侧视图都是边长 $1$ 的正方形说明高为 $1$，体积 $\frac{1}{2}$ 即俯视图面积 $\frac{1}{2}$；四选项面积依次为 $1$、$\frac{\pi }{4}$、$\frac{1}{2}$、$\frac{\pi }{4}$，逐一算面积即可锁定。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图还原题常可用”面积/体积守恒”快速筛选。

结论推广：柱体 $V=S_{\text{底}}\cdot h$，正、侧视图给出高与投影长。

方法推广：圆与扇形的面积含 $\pi$，与不含 $\pi$ 的体积比对即可排除含弧选项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-12 填-三视图三棱柱体积
• 2009-新课标卷文-11 单-三视图全面积
• 2009-浙江卷文-12 填-三视图体积
• 2009-辽宁卷文-16 填-三视图三棱锥体积