2022-新高考I卷-01 单-集合运算

本题导读

本题考查集合的交集运算，以及根式不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） 若集合 $M=\{x\mid \sqrt{x}<4\}$，$N=\{x\mid 3x⩾1\}$，则 $M\cap N=$()

A. $\{x\mid 0⩽x<2\}$　B. $\{x\mid \frac{1}{3}⩽x<2\}$　C. $\{x\mid 3⩽x<16\}$　D. $\{x\mid \frac{1}{3}⩽x<16\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 $M$：解根式不等式 $\sqrt{x}<4$。注意根号下的 $x$ 必须满足 $x⩾0$，再两边平方。
2. 化简集合 $N$：解一元一次不等式 $3x⩾1$。
3. 执行交集运算：将化简后的两个集合范围在数轴上标出，寻找它们的重叠部分。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简集合 $M$ 由 $\sqrt{x}<4$，根据算术平方根的性质：

1. 内部非负限制：$x⩾0$；

2. 两边平方得：$x<16$。 综上，集合 $M=\{x\mid 0⩽x<16\}$。

第二步：化简集合 $N$ 由 $3x⩾1$，不等式两边同时除以 $3$ 得： $x⩾\frac{1}{3}$。 故集合 $N=\{x\mid x⩾\frac{1}{3}\}$。

第三步：求交集 $M\cap N$ 将 $M$ 和 $N$ 的范围合并在同一数轴上观察： $M\cap N=[0,16)\cap [\frac{1}{3},+\infty )=[\frac{1}{3},16)$。 写成集合描述法形式：$\{x\mid \frac{1}{3}⩽x<16\}$。

第四步：得出结论 对比选项，D 选项符合。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 隐性条件的挖掘：根式 $\sqrt{f(x)}$、对数 ${\log }_{a}f(x)$、分式 $\frac{1}{f(x)}$ 是集合题目中经常出现的包装方式，解题前必须第一时间考虑定义域。
2. 交集的几何意义：对于连续区间类集合，利用数轴判定“公共部分”既直观又不易遗漏边界。
3. 符号的精确性：务必区分 $⩽,⩾$（包含端点，闭区间）与 $<,>$（不含端点，开区间）在结果中的体现。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：若本题要求 $M\cup N$（并集），则结果为 $\{x\mid x⩾0\}$。
• 变式思考：如果将 $M$ 改为 $\{x\mid {\log }_{2}x<4\}$，结果会有变化吗？
  • 提示：${\log }_{2}x<4⟹0<x<16$。此时左端点变为了开区间（不含 $0$），最终交集为 $\{x\mid \frac{1}{3}⩽x<16\}$，结果在本题中依然选 D，但在精确描述上有所不同。
• 名师寄语：高考第一题通常不难，但往往考查细心。拿下“，心态稳一半。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2016-北京卷文-1
• 2019-全国卷III文-01 单-集合运算
• 1995-全国卷理-24