2022-新高考I卷-06 单-三角函数周期性

本题导读

本题考查三角函数的周期性，以及三角函数的对称性。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） 记函数 $f(x)=\sin (\omega x+\frac{\pi }{4})+b$ ($\omega >0$) 的最小正周期为 $T$ . 若 $\frac{2\pi }{3}<T<\pi$，且 $y=f(x)$ 的图象关于点 $(\frac{3\pi }{2},2)$ 中心对称，则 $f(\frac{\pi }{2})=$()

A. $1$　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　C. $\frac{5}{2}$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定 $\omega$ 的范围：利用公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$，结合已知的 $T$ 的范围，解出 $\omega$ 的取值区间。
2. 确定常数 $b$：正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 的对称中心必在其平衡位置（即直线 $y=b$）上，据此可直接得出 $b$。
3. 建立相位方程：根据中心对称的定义，对称中心的横坐标代入正弦部分应满足 $\sin =0$。即 $\omega \cdot \frac{3\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)。
4. 锁定 $\omega$ 并求值：在第一步求出的区间内寻找符合方程的整数 $k$，进而确定 $\omega$ 的唯一值，最后代入 $x=\frac{\pi }{2}$ 计算。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $\omega$ 的取值范围 已知 $\frac{2\pi }{3}<T<\pi$，且 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ ($\omega >0$)。 则 $\frac{2\pi }{3}<\frac{2\pi }{\omega }<\pi$。 解得：$2<\omega <3$。

第二步：利用对称中心确定 $b$ 和 $\omega$ 的方程 因为 $y=f(x)$ 关于点 $(\frac{3\pi }{2},2)$ 中心对称， 所以 $b=2$。 同时，该点代入正弦函数内部应满足： $\omega \cdot \frac{3\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) 整理得：$\frac{3}{2}\omega =k-\frac{1}{4}⟹\omega =\frac{2k}{3}-\frac{1}{6}=\frac{4k-1}{6}$。

第三步：确定 $\omega$ 的确切值 由于 $2<\omega <3$，代入 $\omega =\frac{4k-1}{6}$： $2<\frac{4k-1}{6}<3$ $12<4k-1<18$ $13<4k<19$ 因为 $k\in \mathbb{Z}$，所以 $k$ 只能取 $4$。 此时 $\omega =\frac{4\times 4-1}{6}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$。

第四步：计算 $f(\frac{\pi }{2})$ 函数解析式为 $f(x)=\sin (\frac{5}{2}x+\frac{\pi }{4})+2$。 将 $x=\frac{\pi }{2}$ 代入： $f(\frac{\pi }{2})=\sin (\frac{5}{2}\cdot \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4})+2$ $f(\frac{\pi }{2})=\sin (\frac{5\pi }{4}+\frac{\pi }{4})+2$ $f(\frac{\pi }{2})=\sin \frac{3\pi }{2}+2$ $f(\frac{\pi }{2})=-1+2=1$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 对称性的核心逻辑：

• 若关于点 $(x_0,y_0)$ 对称 $\Rightarrow f(x_0)=y_0\Rightarrow \sin (\omega x_0+\phi )=0$。
• 若关于直线 $x=x_0$ 对称 $\Rightarrow \sin (\omega x_0+\phi )=\pm 1$。

2. 隐含的平衡位置：在 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 中，所有的对称中心都分布在 $y=b$ 这条直线上，所有的波峰波谷关于此线对称。
3. 整数约束法：处理这种含有 $k\pi$ 的题目，最后一步通常是利用范围锁定唯一的整数 $k$，这是解析几何和三角函数综合题的常用手段。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：对于选择题，如果求出的 $\omega$ 范围较窄（如本题 $2<\omega <3$），可以尝试取特殊值（如 $\omega =2.5$）代入对称性条件验证。
• 变式思考：若题目改为“图象关于直线 $x=\frac{3\pi }{2}$ 对称”，则方程应变为 $\frac{3\pi }{2}\omega +\frac{\pi }{4}=k\pi +\frac{\pi }{2}$。
• 名师寄语：三角函数题目公式多、易混淆。解题时应遵循“先周期定 $\omega$，后对称找 $\phi$ 或 $b$”的固定流程，步步为营即可稳操胜券。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2005-天津卷理-16 填-奇函数零点性质
• 2007-天津卷理-07 单-函数单调性区间平移
• 2009-大纲卷I理-11