2022-新高考I卷-07 单-导数比较大小

本题导读

本题考查导数在研究函数单调性中的应用，以及利用导数证明超越不等式。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） 设 $a=0.1{\text{e}}^{0.1}$，$b=\frac{1}{9}$，$c=-\ln 0.9$，则()

A. $a<b<c$　　B. $c<b<a$　　C. $c<a<b$　　D. $a<c<b$

🔍【思路分析】

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1. 统一形式：

• $a=0.1{\text{e}}^{0.1}$；
• $b=\frac{1}{9}$；
• $c=-\ln 0.9=\ln \frac{10}{9}=\ln (1+\frac{1}{9})$。

2. 比较 $a$ 与 $b$：利用经典不等式 ${\text{e}}^x⩾1+x$ 的变形，或构造函数研究 $x{\text{e}}^x$ 与 $\frac{x}{1-x}$ 的关系。
3. 比较 $a$ 与 $c$：利用 ${\text{e}}^x$ 与 $\ln (1+x)$ 的泰勒展开或经典放缩 $\ln (1+x)<x<{\text{e}}^x-1$ 进行初判，再构造更精细的函数进行论证。
4. 常用工具：

• ${\text{e}}^x>1+x$ （当 $x\ne 0$ 时）；
• $\ln (1+x)<x$ （当 $x>0$ 时）；
• ${\text{e}}^x<\frac{1}{1-x}$ （当 $0<x<1$ 时）。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【解法一】(构造法1)构造函数$f(x)=lnx+\frac{1}{x}$，$x>0$，则$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$，$x>0$， 当$f^{\prime }(x)=0$时，$x=1$，∴$0<x<1$时，$f\prime (x)<0$，$f(x)$单调递减；$x>1$时，$f\prime (x)>0$，$f(x)$单调递增，

$\therefore f(x)$在$x=1$处取最小值$f$（1）$=1$，\therefore$$lnx>1-\frac{1}{x}， $\therefore ln0.9>1-\frac{1}{0.9}=-\frac{1}{9}$，$\therefore -ln0.9<\frac{1}{9}$，$\therefore c<b$；

$\because -ln0.9=ln\frac{10}{9}>1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10}$，\therefore$$\frac{10}{9}>{e}^{0.1}，$\therefore 0.1e^{0.1}<\frac{1}{9}$，$\therefore a<b$；

$\because 0.1e^{0.1}>0.1\times 1.1=0.11$，而$-1n0.9=ln\frac{10}{9}<\frac{1}{2}(\frac{10}{9}-\frac{9}{10})=\frac{19}{180}<0.11$，$\therefore a>c$， $\therefore c<a<b$．故选：$C$．

【解法二】(构造法2)：先比较$a与b$。设$F(x)=(1-x)e^x-1,0<x<1，$则$F^{\prime }(x)=-x{e}^x<0$，∴$F(x)在0<x<1上减，故F(x)<F(0)=1，即(1-x)e^x<1，0<x<1$，∴$e^x$<$\frac{1}{1-x}$，$0<x<1，取x=0.1$,$e^{0.1}<\frac{1}{1-0.1}=\frac{10}{9}$，∴$0.1e^{0.1}<\frac{1}{9}$，即$a<b$；

再比较$a与c$。易知$e^x\ge x+1$，当且仅当$x=0$时取等号，取$x=0.1$，得$e^{0.1}>1.1,\therefore a=0.1e^{0.1}>0.11$.

设$G(x)=2lnx-x+\frac{1}{x},x>1$，则$G^{\prime }(x)=\frac{2}{x}-1-\frac{1}{x^2}=-\frac{{(x-1)}^2}{x^2}<0$,∴$G(x)在x>1上减，故G(x)<G(1)=0，即2lnx<x-\frac{1}{x}$,取$x=\frac{10}{9}$，得$ln\frac{10}{9}<\frac{1}{2}(\frac{10}{9}-\frac{9}{10})=\frac{19}{180}<0.11<0.1e^{0.1}=a,即c<a，综上c<a<b.$

【解法三】由不等式$\ln x<\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x>1\right)$得$\ln \frac{10}{9}<\frac{1}{2}\left(\frac{10}{9}-\frac{9}{10}\right)=\frac{19}{180}<0.11$，

又因为${\text{e}}^{0.1}>0.1+1=1.1$，所以$a=0.1{\text{e}}^{0.1}>0.11$，所以$c<a$；

由${\text{e}}^x\ge x+1$得{{\text{e}}^{-x}}>-x+1$$\left( 0<x<1 \right)，得${\text{e}}^x<\frac{1}{1-x}$，所以${\text{e}}^{0.1}<\frac{1}{1-0.1}=\frac{1}{0.9}$

所以$a=0.1{\text{e}}^{0.1}<\frac{0.1}{0.9}=\frac{1}{9}$.所以$a<b$，综上$c<a<b$.故选项$C$正确.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心不等式链：在处理比较大小题时，熟练掌握 $\ln (1+x)<x<{\text{e}}^x-1$ 是基础，但面对压轴题，往往需要更高阶的放缩，如 ${\text{e}}^x<\frac{1}{1-x}$ 或 $\ln x<\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})$。
2. 构造函数的技巧：若放缩法不明显，构造函数并利用导数研究其单调性是通法。关键在于构造的函数在 $x=0$ 或 $x=1$ 处有确定的函数值。
3. 近似计算的风险：直接使用 ${\text{e}}^{0.1}\approx 1.10517$ 和 $\ln 1.1\approx 0.0953$ 可以辅助预判，但在解答中必须体现严格的逻辑推导。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：泰勒展开法。
  • ${\text{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots$
  • $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\dots$ 当 $x=0.1$ 时，$a\approx 0.1(1+0.1+0.005)=0.1105$，而 $c\approx 0.1-0.005=0.095$，显然 $a>c$。
• 变式思考：若题目改为比较 $a=0.1{\text{e}}^{0.1}$ 与 $d=0.11$，该如何论证？
• 名师寄语：比较大小题是“精度”的博弈。看到 $0.1$ 这种小量，第一反应是利用函数在原点附近的切线或二阶逼近性质。掌握几个关键的放缩不等式，能让你在考场上节省大量时间。】

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-03 单-对数运算
• 2013-辽宁卷理-12 单-构造辅助函数
• 2014-天津卷文-20 解-集合新定义