2014-天津卷文-20 解-集合新定义

本题导读

(1) 取 $q=2$，$n=3$ 逐一列举；(2) 把 $t-s$ 拆成最高次项与其余项两部分后放缩。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(文)） 已知 $q$ 和 $n$ 均为给定的大于 $1$ 的自然数.设集合 $M=\{0,1,2,\cdots ,q-1\}$，集合 $A=\{x\mid x=x_1+x_{2}q+\cdots +x_n{q}^{n-1},x_i\in M,i=1,2,\cdots ,n\}$.

(1) 当 $q=2$，$n=3$ 时，用列举法表示集合 $A$；

(2) 设 $s$，$t\in A$，$s=a_1+a_{2}q+\cdots +a_n{q}^{n-1}$，$t=b_1+b_{2}q+\cdots +b_n{q}^{n-1}$，其中 $a_i$，$b_i\in M$，$i=1,2,\cdots ,n$.证明：若 $a_n<b_n$，则 $s<t$.

🔍【思路分析】

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(1) $q=2$，$n=3$ 时 $A$ 中元素即为 $x_1+2x_2+4x_3$（$x_i\in \{0,1\}$）；(2) 由 $a_n<b_n$ 得 $b_n-a_n⩾1$，其余各差最小合计 $-(q^{n-1}-1)$。

✅【答案】

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(1) $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$；(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $q=2$，$n=3$ 时，$M=\{0,1\}$，$A$ 中的元素形如 $x=x_1+2x_2+4x_3$，其中 $x_i\in \{0,1\}$。 逐一列举得 $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$。 (2) 由 $a_n$，$b_n\in M=\{0,1,\cdots ,q-1\}$ 及 $a_n<b_n$ 得 $b_n-a_n⩾1$，所以 $(b_n-a_n)q^{n-1}⩾q^{n-1}$。 对 $i=1,2,\cdots ,n-1$，由 $a_i$，$b_i\in M$ 得 $b_i-a_i⩾-(q-1)$，所以 ${\sum }_{i=1}^{n-1}(b_i-a_i)q^{i-1}⩾-(q-1){\sum }_{i=1}^{n-1}{q}^{i-1}=-(q-1)\times \frac{q^{n-1}-1}{q-1}=-(q^{n-1}-1)$。 于是 $t-s=(b_n-a_n)q^{n-1}+{\sum }_{i=1}^{n-1}(b_i-a_i)q^{i-1}⩾q^{n-1}-(q^{n-1}-1)=1>0$， 故 $s<t$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的列举表示

2. 核心方法：放缩法证明数列型不等式

3. 避坑指南：第 (2) 问的 $t-s$ 中，$b_n-a_n⩾1$ 给出主项 $q^{n-1}$，而低次项之和最小是 $-(q-1)(1+q+\cdots +q^{n-2})=-(q^{n-1}-1)$，两者相加恰为 $1$；放缩到“差至少为 $1$”即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 集合的表示与不等式证明。

2. 结论推广: $1+q+\cdots +q^{n-2}=\frac{q^{n-1}-1}{q-1}$；$a_i$，$b_i\in M=\{0,1,\cdots ,q-1\}$ 给出 $-(q-1)⩽b_i-a_i⩽q-1$。

3. 方法推广: “首位系数大则整体大”这类比较大小的证明，标准做法是把高次项与其余项拆开，对低次项作整体放缩。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2015-湖北卷文-10 单-新定义集合
• 2015-上海卷文-23 解-数列综合