2022-新高考I卷-10 多-导数极值零点

本题导读

本题考查导数在研究函数极值与单调性中的应，以及函数零点存在性定理与个数判定。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） 已知函数 $f(x)=x^3-x+1$，则()

A. $f(x)$ 有两个极值点

B. $f(x)$ 有三个零点

C. 点 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的对称中心

D. 直线 $y=2x$ 是曲线 $y=f(x)$ 的切线

🔍【思路分析】

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1. 判定 A（极值点）：求一阶导数 $f^{\prime }(x)$，看 $f^{\prime }(x)=0$ 是否有两个互异实根且在根附近变号。
2. 判定 B（零点个数）：根据 A 中求得的极值点，计算极大值与极小值。

• 若 $f(x_{极大})\cdot f(x_{极小})<0$，有三个零点；
• 若等于 0，有两个零点；
• 若大于 0，有一个零点。

3. 判定 C（对称性）：

• 方法 1（定义法）：验证 $f(x)+f(-x)=2\times 1$ 是否恒成立。
• 方法 2（拐点法）：求二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)$，令其为 0 求得拐点坐标。

4. 判定 D（切线）：设切点为 $(x_0,y_0)$，利用 $f^{\prime }(x_0)=2$ 求出可能的切点横坐标，再验证切点是否同时在曲线和直线上。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

1. 分析单调性与极值（判定 A、B）：

求导得：$f^{\prime }(x)=3x^2-1$。

令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $x_1=-\frac{\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

• 当 $x\in (-\infty ,-\frac{\sqrt{3}}{3})$ 或 $x\in (\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；

• 当 $x\in (-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。

  故 $f(x)$ 在 $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 处取得极大值，在 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 处取得极小值。

  结论 A：$f(x)$ 有两个极值点，正确。

计算极值：

$f(-\frac{\sqrt{3}}{3})=(-\frac{\sqrt{3}}{3}{)}^3-(-\frac{\sqrt{3}}{3})+1=\frac{2\sqrt{3}}{9}+1>0$；

$f(\frac{\sqrt{3}}{3})=(\frac{\sqrt{3}}{3}{)}^3-\frac{\sqrt{3}}{3}+1=1-\frac{2\sqrt{3}}{9}>0$。

由于极大值与极小值均大于 0，且当 $x\to -\infty$ 时 $f(x)\to -\infty$，根据单调性可知 $f(x)$ 与 $x$ 轴仅有一个交点。

结论 B：$f(x)$ 有且仅有一个零点，错误。

2. 判定对称中心（选项 C）：

解法一（定义法）：

计算 $f(x)+f(-x)=(x^3-x+1)+(-x^3+x+1)=2$。

满足 $\frac{f(x)+f(-x)}{2}=1$，即 $f(x)$ 关于点 $(0,1)$ 对称。

解法二（二级结论法 - 拐点）：

三次函数的对称中心即为其拐点。

$f^{\prime \prime }(x)=6x$，令 $f^{\prime \prime }(x)=0$ 得 $x=0$。

此时 $f(0)=1$，故对称中心为 $(0,1)$。

解法三（平移法）：

$f(x)$ 是由奇函数 $g(x)=x^3-x$ 向上平移 1 个单位得到。$g(x)$ 对称中心为 $(0,0)$，平移后 $f(x)$ 对称中心为 $(0,1)$。

结论 C：正确。

3. 判定切线（选项 D）：

假设 $y=2x$ 是曲线的切线，设切点为 $(a,b)$。

则在该点的导数 $f^{\prime }(a)=3a^2-1=2$，解得 $a^2=1\Rightarrow a=\pm 1$。

• 若 $a=1$，则切点应为 $(1,f(1))=(1,1)$。但代入直线 $y=2x$ 得 $y=2\ne 1$。

• 若 $a=-1$，则切点应为 $(-1,f(-1))=(-1,1)$。但代入直线 $y=2x$ 得 $y=-2\ne 1$。

  两个可能的切点均不在直线上。

  结论 D：错误。

  故选：AC.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 三次函数零点判定规律：

• 设 $M,m$ 分别为极大值和极小值。
• $M\cdot m<0⟺3$ 个零点；
• $M\cdot m=0⟺2$ 个零点；
• $M\cdot m>0⟺1$ 个零点。

2. 对称中心的快捷寻找：三次函数 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ 的对称中心横坐标始终满足 $f^{\prime \prime }(x)=0$，即 $x=-\frac{b}{3a}$。
3. 切线判定的“三点一线”：判定直线是否为切线，必须满足：① 斜率相等（导数）；② 切点在曲线上；③ 切点在直线上。缺一不可。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：对于 C 选项，也可以观察 $f(x)=(x^3-x)+1$。已知 $y=x^3-x$ 是奇函数，对称中心为 $(0,0)$，向上平移 1 个单位后，对称中心也随之平移到 $(0,1)$。
• 变式思考：若将 $D$ 选项改为“直线 $y=-x+1$ 是曲线的切线”，结论是否成立？
  • 提示：$f^{\prime }(x_0)=3x_0^2-1=-1⟹x_0=0$。切点为 $(0,1)$，代入直线 $y=-0+1=1$，成立。此时该切线即为过对称中心的切线。
• 名师寄语：多选题是知识点的“大点名”。掌握三次函数的性质图谱（极值、零点、拐点、对称性），能让你在面对这类综合题时游刃有余。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2008-江苏卷-08 填-切线求参数
• 2009-新课标卷文-13 填-指数曲线切线