2022-新高考I卷-12 多-抽象函数对称性

本题导读

本题考查抽象函数的对称性，以及导函数的对称性与原函数的关系。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） 已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime }(x)$ 的定义域均为 $\mathbb{R}$，记 $g(x)=f^{\prime }(x)$。若 $f(\frac{3}{2}-2x)$，$g(2+x)$ 均为偶函数，则()

A. $f(0)=0$　B. $g(-\frac{1}{2})=0$　C. $f(-1)=f(4)$　D. $g(-1)=g(2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析已知对称性：

• $f(\frac{3}{2}-2x)$ 是偶函数 $⟹f(\frac{3}{2}-2x)=f(\frac{3}{2}+2x)$。这意味着 $f(x)$ 关于直线 $x=\frac{3}{2}$ 对称。
• $g(2+x)$ 是偶函数 $⟹g(2+x)=g(2-x)$。这意味着 $g(x)$ 关于直线 $x=2$ 对称。

2. 导函数性质转化：若 $f(x)$ 关于 $x=a$ 轴对称，则其导函数 $g(x)$ 关于 $(a,0)$ 中心对称。
3. 判定周期性：若 $g(x)$ 既关于点 $(\frac{3}{2},0)$ 中心对称，又关于直线 $x=2$ 轴对称，则 $g(x)$ 是周期函数，周期 $T=4\times |2-\frac{3}{2}|=2$。
4. 逐项校验：利用得到的对称轴、对称中心和周期对选项进行代数运算。

✅【答案】

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BC

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的对称性

• 因为 $f(\frac{3}{2}-2x)$ 是偶函数，所以 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{3}{2}$ 对称。 即 $f(x)=f(3-x)$。对两边求导得：$f^{\prime }(x)=-f^{\prime }(3-x)$，即 $g(x)=-g(3-x)$。 这说明 $g(x)$ 关于点 $(\frac{3}{2},0)$ 中心对称。

• 因为 $g(2+x)$ 是偶函数，所以 $g(x)$ 关于直线 $x=2$ 对称。 即 $g(x)=g(4-x)$。

第二步：判定 B 选项（$g(x)$ 的特殊值） 由 $g(x)$ 关于点 $(\frac{3}{2},0)$ 中心对称可知，$g(\frac{3}{2})=0$。 因为 $g(x)$ 具有对称轴 $x=2$ 和对称中心 $(\frac{3}{2},0)$，其周期 $T=4\times (2-1.5)=2$。 所以 $g(-\frac{1}{2})=g(-\frac{1}{2}+2)=g(\frac{3}{2})=0$。 故 B 选项正确。

第三步：判定 C 选项（$f(x)$ 的函数值） 已知 $f(x)$ 关于 $x=\frac{3}{2}$ 对称，即 $f(x)=f(3-x)$。 代入 $x=-1$：$f(-1)=f(3-(-1))=f(4)$。 故 C 选项正确。

第四步：判定 D 选项（$g(x)$ 的函数值） 因为 $g(x)$ 的周期 $T=2$，所以 $g(-1)=g(-1+2)=g(1)$。 又 $g(x)$ 关于点 $(\frac{3}{2},0)$ 中心对称，则 $g(1)=-g(3-1)=-g(2)$。 所以 $g(-1)=-g(2)$。除非 $g(2)=0$，否则 $g(-1)\ne g(2)$。 从已知条件无法确定 $g(2)=0$。 故 D 选项错误。

第五步：判定 A 选项（$f(0)$ 的确定性） 函数的对称性只能确定函数值的相对关系（如 $f(0)=f(3)$），但不能确定具体的函数值。 如果 $f(x)$ 满足条件，则 $f(x)+C$（$C$ 为常数）同样满足导数的对称条件，但 $f(0)$ 会随 $C$ 改变。 故 A 选项错误。

特殊函数构造法验证： 构造 $g(x)=\cos (\pi x)$。

• 其对称轴包括 $x=0,1,2,\dots$，满足 $g(2+x)$ 为偶函数。
• 其对称中心包括 $x=0.5,1.5,\dots$，满足 $g(x)$ 关于 $(1.5,0)$ 中心对称。 此时 $f(x)=\int g(x)dx=\frac{1}{\pi }\sin (\pi x)+C$。
• 当 $C=1$ 时，$f(0)=1\ne 0$（排除 A）。
• $g(-1/2)=\cos (-\pi /2)=0$（符合 B）。
• $f(-1)=\frac{1}{\pi }\sin (-\pi )+1=1$，$f(4)=\frac{1}{\pi }\sin (4\pi )+1=1$（符合 C）。
• $g(-1)=\cos (-\pi )=-1$，$g(2)=\cos (2\pi )=1$（排除 D）。

综上所述，正确选项为 BC。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 对称性的导数特征：

• $f(x)$ 轴对称 $\Rightarrow f^{\prime }(x)$ 中心对称（中心在轴上）。
• $f(x)$ 中心对称 $\Rightarrow f^{\prime }(x)$ 轴对称（轴穿过中心）。

2. 周期性的“黄金组合”：

• 两轴对称（轴 $x=a,x=b$） $\Rightarrow T=2|a-b|$。
• 两中心对称（中心 $a,b$） $\Rightarrow T=2|a-b|$。
• 一轴一中心（轴 $x=a$, 中心 $b$） $\Rightarrow T=4|a-b|$。

3. 抽象函数求值的策略：

• 优先找“对称性”和“周期性”这两个核心基因。
• 面对多选题，构造满足条件的三角函数（如 $\sin \omega x$ 或 $\cos \omega x$）是避开复杂推导、快速排除错误选项的捷径。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题 C 选项也可以通过积分理解。若 $g(x)$ 在 $[1.5,4]$ 上的图象与在 $[-1,1.5]$ 上的图象关于 $x=1.5$ 对称且符号相反，则其积分（原函数的变化量）之和为 0，即 $f(4)-f(-1)=0$。
• 变式思考：如果题目改为 $f(x)$ 是奇函数且 $g(x)$ 是偶函数，那么 $f(x)$ 的周期性会如何变化？
• 名师寄语：抽象函数是高考数学的“逻辑高地”。记住：原函数的轴对称会强迫导函数在对称轴处“归零”（变成对称中心）。抓住了这个变号点，就抓住了全题的灵魂。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2005-天津卷理-16 填-奇函数零点性质
• 2007-天津卷理-07 单-函数单调性区间平移
• 2008-山东卷理-04