2022-新高考I卷-17 解-数列综合

本题导读

本题考查数列的递推关系。核心在于累乘法、裂项相消法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） 记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=1$，$\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列。

（1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（2）证明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots +\frac{1}{a_n}<2$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求通项）：

• 建立关系式：根据等差数列定义写出 $\frac{S_n}{a_n}$ 的通项，整理出 $S_n$ 与 $a_n$ 的表达式。
• 消除 $S_n$：利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ ($n⩾2$) 得到 $a_n$ 与 $a_{n-1}$ 的递推关系。
• 求通项：利用累乘法或构造新数列的方法解出 $a_n$，并检验 $n=1$ 的情况。

2. 第二问（证明不等式）：

• 裂项：将 $\frac{1}{a_n}$ 写成 $\frac{2}{n(n+1)}$，进一步裂项为 $2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$。
• 求和：利用裂项相消法求出前 $n$ 项和的表达式。
• 放缩：观察求和结果 $2-\frac{2}{n+1}$，通过项的符号直接判定其小于 $2$。

✅【答案】

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(1) $a_n=n(n+1)$ 或见解析

(2) $T_n=2-\frac{2}{n+1}<2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式： 由 $a_1=1$ 得 $\frac{S_1}{a_1}=1$。 因为 $\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列， 所以 $\frac{S_n}{a_n}=1+(n-1)\cdot \frac{1}{3}=\frac{n+2}{3}$。 整理得：$S_n=\frac{n+2}{3}{a}_n$ —— ① 当 $n⩾2$ 时，$S_{n-1}=\frac{n+1}{3}{a}_{n-1}$ —— ② ① - ② 得：$a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{n+2}{3}{a}_n-\frac{n+1}{3}{a}_{n-1}$。 整理得：$\left(1-\frac{n+2}{3}\right)a_n=-\frac{n+1}{3}{a}_{n-1}$ $\frac{1-n}{3}{a}_n=-\frac{n+1}{3}{a}_{n-1}⟹(n-1)a_n=(n+1)a_{n-1}$。 即 $\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}$ ($n⩾2$)。

使用累乘法： $\frac{a_n}{a_1}=\frac{a_n}{a_{n-1}}\cdot \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot \cdots \cdot \frac{a_2}{a_1}=\frac{n+1}{n-1}\cdot \frac{n}{n-2}\cdot \frac{n-1}{n-3}\cdots \cdot \frac{4}{2}\cdot \frac{3}{1}$ 对消后得：$\frac{a_n}{a_1}=\frac{(n+1)n}{2\times 1}=\frac{n(n+1)}{2}$。 因为 $a_1=1$，所以 $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$。 当 $n=1$ 时，$a_1=\frac{1\times 2}{2}=1$，符合题意。 故 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$。

(2) 证明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots +\frac{1}{a_n}<2$： 由 (1) 知 $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$，则 $\frac{1}{a_n}=\frac{2}{n(n+1)}$。 利用裂项相消法： $\frac{1}{a_n}=2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$。 设 $T_n=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots +\frac{1}{a_n}$，则 $T_n=2\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right]$ $T_n=2\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=2-\frac{2}{n+1}$。

因为 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，所以 $\frac{2}{n+1}>0$。 故 $T_n=2-\frac{2}{n+1}<2$。 证明完毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 消除 $S_n$ 的套路：在数列递推式中，看到 $S_n$ 与 $a_n$ 混写，第一反应应当是利用 $S_n-S_{n-1}=a_n$ 将其转化为全 $a_n$ 的关系式。
2. 累乘法的对消观察：在使用累乘法时，分子分母的抵消规律通常是“跨项抵消”，即第一项的分子与第三项的分母抵消。书写时建议多写出几项以确认为最后留下的是哪些项。
3. 裂项相消的特征：通项分母为两个等差项的乘积（如 $n(n+1)$）是裂项相消的典型标志。其和的结果 $2-\frac{2}{n+1}$ 直观地揭示了级数的收敛趋势。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：对于第一问，也可以通过构造 $\frac{a_n}{n(n+1)}=\frac{a_{n-1}}{(n-1)n}$ 发现这是一个常数列，从而直接得到通项。
• 变式思考：如果 $a_n=n^2$，如何证明其倒数和小于 2？（提示：利用放缩 $\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}$）。
• 名师寄语：数列题要稳。第一问求出通项后，务必带入 $n=1,2$ 验证是否符合初始条件。只要通项求对了，第二问的裂项证明就是水到渠成。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-20 解-集合新定义
• 2021-天津卷-19 解-数列综合
• 2021-浙江卷-10 单-数列不等式