2022-新高考II卷-04 单-向量夹角

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算与线性运算，以及向量夹角的坐标表示与余弦公式。

📌【题干】

Question

（2022年新高考II卷） 已知向量 $\vec{a}=(3,4)$，$\vec{b}=(1,0)$，$\vec{c}=\vec{a}+t\vec{b}$。若 $⟨\vec{a},\vec{c}⟩=⟨\vec{b},\vec{c}⟩$，则 $t=$()

A. $-6$　　　　　　　B. $-5$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

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本题有两种主流解法：

1. 坐标代数法：先利用向量加法的坐标运算法则求出 $\vec{c}$ 的坐标表达式。由于 $⟨\vec{a},\vec{c}⟩=⟨\vec{b},\vec{c}⟩$，必然有 $\cos ⟨\vec{a},\vec{c}⟩=\cos ⟨\vec{b},\vec{c}⟩$。利用向量夹角的余弦公式 $\cos \theta =\frac{\vec{m}\cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}$ 代入坐标建立方程，解出 $t$。
2. 几何意义法（菱形法）：由 $\vec{c}=\vec{a}+t\vec{b}$ 可知，向量 $\vec{c}$ 是由向量 $\vec{a}$ 和向量 $t\vec{b}$ 按照平行四边形法则相加得到的。题目条件 $⟨\vec{a},\vec{c}⟩=⟨\vec{b},\vec{c}⟩$ 意味着 $\vec{c}$ 平分 $\vec{a}$ 与 $t\vec{b}$ 的夹角。在平行四边形中，只有菱形的对角线平分内角，因此必然有 $|\vec{a}|=|t\vec{b}|$，从而迅速求出 $t$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解法一：坐标代数法 已知 $\vec{a}=(3,4)$，$\vec{b}=(1,0)$。 则 $\vec{c}=\vec{a}+t\vec{b}=(3,4)+(t,0)=(3+t,4)$。 分别计算向量的模： $|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$； $|\vec{b}|=\sqrt{1^2+0^2}=1$。 由于 $⟨\vec{a},\vec{c}⟩=⟨\vec{b},\vec{c}⟩$，且夹角范围在 $[0,\pi ]$，故 $\cos ⟨\vec{a},\vec{c}⟩=\cos ⟨\vec{b},\vec{c}⟩$。 即 $\frac{\vec{a}\cdot \vec{c}}{|\vec{a}||\vec{c}|}=\frac{\vec{b}\cdot \vec{c}}{|\vec{b}||\vec{c}|}$。 因为 $\vec{c}=(3+t,4)$，其纵坐标不为 $0$，故 $|\vec{c}|\ne 0$。两边约去 $|\vec{c}|$，得： $\frac{\vec{a}\cdot \vec{c}}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{b}\cdot \vec{c}}{|\vec{b}|}$。 代入坐标： $\vec{a}\cdot \vec{c}=3(3+t)+4\times 4=3t+25$ $\vec{b}\cdot \vec{c}=1(3+t)+0\times 4=t+3$ 代入等式： $\frac{3t+25}{5}=\frac{t+3}{1}$ 解得：$3t+25=5t+15⟹2t=10⟹t=5$。 检验：当 $t=5$ 时，$\vec{a}\cdot \vec{c}=40>0$，夹角均为锐角，符合题意。

解法二：几何意义法（菱形法） 记 $\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=t\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c}$。 由 $\vec{c}=\vec{a}+t\vec{b}$ 知，以 $OA,O{B}^{\prime }$ 为邻边作平行四边形，则 $OC$ 为对角线。 条件 $⟨\vec{a},\vec{c}⟩=⟨\vec{b},\vec{c}⟩$ 说明对角线 $OC$ 平分 $\angle AO{B}^{\prime }$（或与其反向延长线共线）。 由于平行四边形的对角线平分内角的充要条件是该平行四边形为菱形。 所以必须有邻边相等，即 $|\vec{a}|=|t\vec{b}|$ 且 $t>0$（保证平分内角而不是邻补角）。 计算得 $|\vec{a}|=5,|\vec{b}|=1$。 所以 $5=|t|\times 1⟹|t|=5$。 因为 $t>0$，故 $t=5$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心技巧（消元降次）：在利用向量夹角公式 $\cos \theta =\frac{\vec{m}\cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}$ 建立等式时，如果分母中含有相同的待求变量的模长（如本题中的 $|\vec{c}|$），在确认其不为 $0$ 后应当优先约去，避免陷入复杂的无理方程求解。
2. 几何直观的威力：遇到形式为 $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$，且涉及“平分夹角”或“夹角相等”的条件时，首选“菱形模型”。这不仅能节省大量计算时间，还能避免增根的出现。
3. 避坑指南：解法一中，虽然约去了 $|\vec{c}|$，但严格来说，当 $\cos \theta <0$ 时，夹角可能一个是钝角，另一个是锐角的邻补角。所以解出 $t$ 后，最好稍微验证一下分子 $\vec{a}\cdot \vec{c}$ 的正负，以确保两边夹角真正相等。本题由于选项均为实数且只有一个正数，可免去严格验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题引出一个极其重要的向量角平分线定理：已知非零向量 $\vec{a},\vec{b}$，则与它们夹角相等的向量（即角平分线方向的向量）可以表示为 $\lambda (\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|})$ ($\lambda >0$)。即将两向量单位化后再相加，必然得到平分夹角的向量。
• 变式思考：如果将题目条件改为 $\vec{c}=\vec{a}-t\vec{b}$，且 $⟨\vec{a},\vec{c}⟩=⟨\vec{b},\vec{c}⟩$，则 $t$ 应该等于多少？(提示：利用几何模型，此时 $t$ 应为负值)。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2008-天津卷文-14 填-向量减法与模