2022-新高考II卷-06 单-辅助角公式

本题导读

本题考查辅助角公式的应用，以及两角和与差的正弦公式。

📌【题干】

Question

（2022年新高考II卷） 若 $\sin (\alpha +\beta )+\cos (\alpha +\beta )=2\sqrt{2}\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})\sin \beta$，则()

A. $\tan (\alpha -\beta )=1$　　B. $\tan (\alpha +\beta )=1$　　C. $\tan (\alpha -\beta )=-1$　　D. $\tan (\alpha +\beta )=-1$

🔍【思路分析】

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本题提供多种解法思路：

1. 常规恒等变形（辅助角+和差公式）：将等式左边利用辅助角公式化为 $\sqrt{2}\sin (\alpha +\beta +\frac{\pi }{4})$，然后将左边视为 $\sin [(\alpha +\frac{\pi }{4})+\beta ]$ 展开，与右边对比并移项，逆用差角正弦公式，最终得到关于 $\alpha -\beta$ 的等式。
2. 和差化积法：利用右边的乘积形式 $2\cos A\sin B$，根据积化和差公式将其展开，发现能与左边项巧妙抵消。
3. 特殊值法（快速求解）：对于恒等式，直接赋予 $\beta$ 特殊值（如 $\beta =0$），可以迅速求出 $\alpha$ 的值，从而判断出正确选项。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解法一：恒等变形法（辅助角与和差公式） 已知等式左边为：$\sin (\alpha +\beta )+\cos (\alpha +\beta )$。 利用辅助角公式化简得：$\sqrt{2}\sin (\alpha +\beta +\frac{\pi }{4})$。 将化简结果代回原等式： $\sqrt{2}\sin (\alpha +\beta +\frac{\pi }{4})=2\sqrt{2}\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})\sin \beta$ 两边同时除以 $\sqrt{2}$： $\sin (\alpha +\beta +\frac{\pi }{4})=2\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})\sin \beta$ 将左边角拆分为 $(\alpha +\frac{\pi }{4})$ 和 $\beta$，利用两角和的正弦公式展开： $\sin (\alpha +\frac{\pi }{4})\cos \beta +\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})\sin \beta =2\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})\sin \beta$ 移项并合并同类项： $\sin (\alpha +\frac{\pi }{4})\cos \beta -\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})\sin \beta =0$ 逆用两角差的正弦公式 $\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$： $\sin [(\alpha +\frac{\pi }{4})-\beta ]=0$ 即 $\sin (\alpha -\beta +\frac{\pi }{4})=0$。 所以 $\alpha -\beta +\frac{\pi }{4}=k\pi (k\in \mathbb{Z})$。 得到 $\alpha -\beta =k\pi -\frac{\pi }{4}$。 两边同时取正切： $\tan (\alpha -\beta )=\tan (k\pi -\frac{\pi }{4})=\tan (-\frac{\pi }{4})=-1$。

解法二：特殊值法（考场极速版） 题目给出的是一个恒等式，意味着对于任意使等式有意义的 $\alpha ,\beta$ 都成立。 令 $\beta =0$，代入原等式： 左边 $=\sin \alpha +\cos \alpha$ 右边 $=2\sqrt{2}\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})\sin 0=0$ 所以 $\sin \alpha +\cos \alpha =0⟹\tan \alpha =-1$。 此时 $\alpha -\beta =\alpha -0=\alpha$。 所以 $\tan (\alpha -\beta )=\tan \alpha =-1$。 对比选项，只有 C 符合。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 辅助角的本能反应：在三角恒等变换中，只要看到 $\sin x\pm \cos x$ 的结构，应立刻条件反射地提取 $\sqrt{2}$ 并使用辅助角公式转化为 $\sqrt{2}\sin (x\pm \frac{\pi }{4})$。这是化繁为简的第一步。
2. 整体换元思想：在展开 $\sin (\alpha +\beta +\frac{\pi }{4})$ 时，将其看作 $\sin [(\alpha +\frac{\pi }{4})+\beta ]$ 是破题的关键，这样才能与等式右边的 $\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})$ 产生联系。
3. 特值法的简化处理：对于选择题中的恒等式化简或求值问题，特值法（尤其是赋 $0,\frac{\pi }{2}$ 等让某一项消失的值）往往能避开复杂的代数推导，实现快速求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：解法一中的最后一步，也可以利用积化和差公式处理等式右边：$2\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})\sin \beta =\sin (\alpha +\frac{\pi }{4}+\beta )-\sin (\alpha +\frac{\pi }{4}-\beta )$。等式变为 $\sin (\alpha +\beta +\frac{\pi }{4})=\sin (\alpha +\beta +\frac{\pi }{4})-\sin (\alpha -\beta +\frac{\pi }{4})$，直接得到 $\sin (\alpha -\beta +\frac{\pi }{4})=0$，过程更为简洁。
• 易错点：注意题目最后问的是 $\tan (\alpha -\beta )$ 还是 $\tan (\alpha +\beta )$，很多同学算出等于 $-1$ 后，不仔细看选项符号就误选了 D。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1989-全国卷理-13 填-三角方程的解集
• 2011-上海卷文-04 填-辅助角最值
• 2014-天津卷文-08 单-三角周期