2022-新高考II卷-08 单-抽象函数性质

本题导读

本题考查抽象函数的性质，以及赋值法在抽象函数中的应用。

📌【题干】

Question

（2022年新高考II卷） 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，且 $f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)$，$f(1)=1$，则 ${\sum }_{k=1}^{22}f(k)=$()

A. $-3$　　　　　　　B. $-2$　　　　　　　C. $0$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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面对抽象函数求和问题，核心目标是寻找函数的周期性。

1. 代数推导法（通法）：利用已知等式，令 $y=1$，得到递推式 $f(x+1)+f(x-1)=f(x)$，即 $f(x+1)=f(x)-f(x-1)$。通过不断向后迭代，寻找 $f(x+T)=f(x)$ 的周期 $T$。同时通过令 $x=1,y=0$ 赋值求出 $f(0)$。计算出一个周期内各项的值，最后利用周期求和。
2. 构造特例法（快速求解法）：观察等式结构 $f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)$，这与三角函数中的和差化积公式极其相似。联想 $\cos (x+y)+\cos (x-y)=2\cos x\cos y$，可以大胆构造符合条件的具体函数 $f(x)=2\cos (\omega x)$，利用 $f(1)=1$ 定出 $\omega$，进而快速求出所有需要的值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解法一：赋值法与迭代法（严谨推导） 第一步：寻找递推关系与周期 在已知等式 $f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)$ 中，令 $y=1$： $f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)$。 因为 $f(1)=1$，所以有递推关系式： $f(x+1)=f(x)-f(x-1)$。 利用该关系式进行迭代： $f(x+2)=f(x+1)-f(x)=[f(x)-f(x-1)]-f(x)=-f(x-1)$ $f(x+3)=f(x+2)-f(x+1)=-f(x-1)-[f(x)-f(x-1)]=-f(x)$ 既然推得 $f(x+3)=-f(x)$，那么再平移 3 个单位： $f(x+6)=f((x+3)+3)=-f(x+3)=-[-f(x)]=f(x)$。 这说明函数 $f(x)$ 是一个周期为 6 的周期函数。

第二步：求基准值 $f(0)$ 及一个周期内的各项 在原等式中令 $x=1,y=0$： $f(1+0)+f(1-0)=f(1)f(0)⟹2f(1)=f(1)f(0)$。 因为 $f(1)=1\ne 0$，所以解得 $f(0)=2$。 利用递推式 $f(n+1)=f(n)-f(n-1)$ 依次计算前 6 项：

• $f(1)=1$ (已知)
• $f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1$
• $f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2$
• $f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1$
• $f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1$
• $f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2$ （验证：$f(6)$ 恰好等于 $f(0)$，周期性无误）

计算一个周期（6项）内的和： ${\sum }_{k=1}^{6}f(k)=1+(-1)+(-2)+(-1)+1+2=0$。

第三步：计算总和 所求项数为 22。因为 $22=6\times 3+4$，即包含 3 个完整周期，外加 4 项残余。 ${\sum }_{k=1}^{22}f(k)=3\times ({\sum }_{k=1}^{6}f(k))+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)$ 利用周期性 $f(n+6k)=f(n)$： $=3\times 0+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)$ $=1+(-1)+(-2)+(-1)=-3$。

故选：A。

解法二：特例法（构造具体函数） 观察结构 $f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)$。 联想三角公式：$\cos (x+y)+\cos (x-y)=2\cos x\cos y$。 令 $f(x)=2\cos (\omega x)$，代入检验： $2\cos (\omega (x+y))+2\cos (\omega (x-y))=2[2\cos (\omega x)\cos (\omega y)]=4\cos (\omega x)\cos (\omega y)$。 而 $f(x)f(y)=[2\cos (\omega x)][2\cos (\omega y)]=4\cos (\omega x)\cos (\omega y)$。完全吻合！ 由已知 $f(1)=1$，则 $2\cos (\omega \times 1)=1⟹\cos \omega =\frac{1}{2}$。 取 $\omega =\frac{\pi }{3}$，则 $f(x)=2\cos (\frac{\pi }{3}x)$。 此函数的周期 $T=\frac{2\pi }{\pi /3}=6$。 计算前 4 项（因为前 6 项和为 0 是余弦函数在一个周期内的基本性质）： $f(1)=2\cos \frac{\pi }{3}=1$ $f(2)=2\cos \frac{2\pi }{3}=-1$ $f(3)=2\cos \pi =-2$ $f(4)=2\cos \frac{4\pi }{3}=-1$ 求和：$22=3\times 6+4$。 ${\sum }_{k=1}^{22}f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 递推式与周期性的“黄金搭档”：

• 若 $f(x+1)+f(x-1)=f(x)$，则周期 $T=6$。（本题模型）
• 若 $f(x+1)+f(x-1)=\sqrt{2}f(x)$，则周期 $T=8$。
• 若 $f(x+1)+f(x-1)=\sqrt{3}f(x)$，则周期 $T=12$。
• 若 $f(x+1)+f(x-1)=0$，即 $f(x+1)=-f(x-1)$，则周期 $T=4$。 熟记这些常见结论，可以在考场上省去大量迭代推导的时间。

2. 赋值法的技巧：在推导周期或求特定值时，令 $y=0$（探索 $f(0)$ 或奇偶性）、令 $y=1$（探索递推关系）、令 $x=y$（探索二次关系）是最常用的三把斧。
3. “特例法”的简化处理：在选择题中，如果遇到极为抽象的函数方程，且选项都是具体数值，说明答案不依赖于具体的函数形式。此时构造满足条件的初等函数（尤其是三角函数）是极其强大的破题技巧。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题中还可以通过令 $x=0$ 得到 $f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)$，由于 $f(0)=2$，可得 $f(y)+f(-y)=2f(y)⟹f(-y)=f(y)$，从而严格证明 $f(x)$ 是偶函数。结合 $f(x+3)=-f(x)$，可以完整描绘出函数的对称中心和对称轴。
• 变式思考：如果将题目条件改为 $f(x+y)-f(x-y)=f(x)f(y)$，应该联想哪种基础函数进行特例构造？(提示：此时应联想正弦函数的积化和差公式，或者考虑是否只有常数函数满足)。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性
• 2014-江苏卷-13 填-周期性
• 2008-重庆卷理-06