2022-新高考II卷-13 填-正态分布

本题导读

本题考查正态分布的定义与概率密度曲线，以及正态分布曲线的对称性。

📌【题干】

Question

（2022年新高考II卷） 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(2,{\sigma }^2)$，且 $P(2<X⩽2.5)=0.36$，则 $P(X>2.5)=$ $\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 明确对称中心：由 $X\sim N(2,{\sigma }^2)$ 可知，该正态分布曲线的对称轴为 $x=\mu =2$。
2. 利用对称性确立基准概率：根据正态分布曲线的对称性，随机变量取值落在对称轴右侧（即 $X>2$）的概率等于总概率的一半，即 $P(X>2)=0.5$。
3. 区间拆分与计算：将事件 $\{X>2\}$ 拆分为两个互斥事件 $\{2<X⩽2.5\}$ 和 $\{X>2.5\}$ 的并集。利用概率的加法公式，用总的一半（$0.5$）减去已知区间的概率（$0.36$），即可得到所求概率。

✅【答案】

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$0.14$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定正态分布的对称轴与半区概率 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，其中 $\mu =2$。 正态分布密度曲线关于直线 $x=2$ 对称。 根据概率密度的性质，曲线下方的总面积为 1，且关于对称轴平分。 因此，随机变量 $X$ 大于均值 2 的概率为： $P(X>2)=0.5$。

第二步：利用概率的加法公式拆分区间 事件 $\{X>2\}$ 可以看作是事件 $\{2<X⩽2.5\}$ 与事件 $\{X>2.5\}$ 的互斥并集。 根据互斥事件的概率加法公式，有： $P(X>2)=P(2<X⩽2.5)+P(X>2.5)$。

第三步：代入已知数据进行计算 将已知条件 $P(2<X⩽2.5)=0.36$ 和推导出的 $P(X>2)=0.5$ 代入上式： $0.5=0.36+P(X>2.5)$ 解方程得： $P(X>2.5)=0.5-0.36=0.14$。

故答案为：$0.14$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心结论（两个 $0.5$）：对于任意正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，始终有 $P(X<\mu )=0.5$ 和 $P(X>\mu )=0.5$。这是解决非 $3\sigma$ 原则（经验法则）概率计算题目的基石。
2. 图像辅助思考：做正态分布题目时，强烈建议画出草图。标出对称轴 $\mu$ 的位置，画出已知概率的区间面积，所求区间的概率关系便会一目了然，能极大降低逻辑出错的概率。
3. 避免低级失误：

• 概念混淆：不要将本题的对称轴 $\mu =2$ 误认为是标准正态分布的对称轴 $0$。
• 计算马虎：在进行简单的小数减法时（如 $0.5-0.36$），考场紧张状态下极易算错（例如得出 $0.24$）。越是简单的计算，越需要列竖式或在草稿纸上复算一次确认。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：正态分布的概率计算常常与它的另一个重要对称性质结合：$P(X<\mu -a)=P(X>\mu +a)$。如果本题追问 $P(X<1.5)$ 的值，你可以利用这个对称性快速得出答案吗？(提示：$1.5$ 和 $2.5$ 关于对称轴 $2$ 对称，故 $P(X<1.5)=P(X>2.5)=0.14$)。
• 连续型随机变量的特点：在正态分布这样的连续型概率分布中，包含或不包含边界点（如 $<$ 与 $⩽$）对概率的计算没有影响。即 $P(X=a)=0$，所以 $P(X⩾2.5)=P(X>2.5)=0.14$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.05 正态分布
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-重庆卷理-05
• 2013-湖北卷理-20 解-正态分布的性质与概率计算
• 2014-新课标I卷理-18 解-平均数与方差的估计