2014-新课标I卷理-18 解-平均数与方差的估计

本题导读

本题考查统计与概率的综合应用。第一问要求根据频率分布直方图计算样本平均数和方差；第二问通过正态分布模型转化，计算特定区间的概率，并结合二项分布求解期望，体现了统计推断与概率预测的结合。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 从某企业生产的某中产品中抽取 $500$ 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1) 求这 $500$ 件产品质量指标值的样本平均数 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^2$（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；

(2) 由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 $Z$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，其中 $\mu$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$，${\sigma }^2$ 近似为样本方差 $s^2$.

(i) 利用该正态分布，求 $P(187.8<Z<212.2)$；

(ii) 某用户从该企业购买了 $100$ 件这种产品，记 $X$ 表示这 $100$ 件产品中质量指标值位于区间 $(187.8,212.2)$ 的产品件数，利用 (i) 的结果，求 $EX$.

附：$\sqrt{150}\approx 12.2$. 若 $Z\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $P(\mu -\sigma <Z<\mu +\sigma )=0.6826$，$P(\mu -2\sigma <Z<\mu +2\sigma )=0.9544$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：统计量计算
   • 平均数 $\bar{x}$：各组中点值乘以对应频率（矩形面积，本题组距为 $10$）。
   • 方差 $s^2$：各组 $(中点值-\bar{x}{)}^2$ 乘以对应频率。
2. 第二问 (i)：正态概率
   • 确定参数 $\mu =\bar{x}$，$\sigma =\sqrt{s^2}\approx 12.2$。
   • 观察区间 $(187.8,212.2)$ 与 $\mu ,\sigma$ 的关系，发现其正好是 $(\mu -\sigma ,\mu +\sigma )$。
3. 第二问 (ii)：期望计算
   • 判定 $X$ 的分布。每件产品落在该区间的概率恒定，属于 $100$ 次独立重复试验，故 $X\sim B(100,p)$。
   • 利用公式 $EX=np$ 求解。

✅【答案】

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第 (1) 小题：计算平均数与方差；样本平均数 $\bar{x}$；样本方差 $s^2$；第 (2) 小题：(i) 求正态分布概率

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：计算平均数与方差 由直方图可知，各组频率（面积）分别为：

$[165,175):0.002\times 10=0.02$

$[175,185):0.009\times 10=0.09$

$[185,195):0.022\times 10=0.22$

$[195,205):0.033\times 10=0.33$

$[205,215):0.024\times 10=0.24$

$[215,225):0.008\times 10=0.08$

$[225,235):0.002\times 10=0.02$

1. 样本平均数 $\bar{x}$： $\bar{x}=170\times 0.02+180\times 0.09+190\times 0.22+200\times 0.33+210\times 0.24+220\times 0.08+230\times 0.02=200$
2. 样本方差 $s^2$： $s^2=(170-200{)}^2\cdot 0.02+(180-200{)}^2\cdot 0.09+(190-200{)}^2\cdot 0.22+(200-200{)}^2\cdot 0.33+(210-200{)}^2\cdot 0.24+(220-200{)}^2\cdot 0.08+(230-200{)}^2\cdot 0.02$ $s^2=900\cdot 0.02+400\cdot 0.09+100\cdot 0.22+0+100\cdot 0.24+400\cdot 0.08+900\cdot 0.02=150$

第 (2) 小题：(i) 求正态分布概率 由 (1) 知 $\mu =200,{\sigma }^2=150$，则 $\sigma =\sqrt{150}\approx 12.2$。 所求区间 $(187.8,212.2)$ 可改写为： $(200-12.2,200+12.2)=(\mu -\sigma ,\mu +\sigma )$ 根据附录数据： $P(187.8<Z<212.2)=P(\mu -\sigma <Z<\mu +\sigma )=0.6826$

第 (2) 小题：(ii) 求二项分布期望 由 (i) 知，任取一件产品其指标值落在 $(187.8,212.2)$ 的概率 $p=0.6826$。 由于各件产品是否落在该区间是相互独立的，故 $X\sim B(100,0.6826)$。 $EX=np=100\times 0.6826=68.26$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图中“面积即概率/频率”的核心定义。 2. 计算技巧：在计算方差时，利用数据关于平均数 $200$ 的对称性（如 $170$ 和 $230$ 偏离值相同）可以成对计算，减少出错率。 3. 模型迁移：注意本题经历了从“样本统计”到“正态模型”再到“二项分布”的逻辑跨越，需分清每一阶段的变量性质。

2. 核心方法：中点值加权求平均数与方差，正态分布转二项分布求期望。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 抽样方法（分层、系统抽样）、假设检验初步、独立性检验。

2. 结论推广: 若区间变为 $(\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma )$，则概率变为 $0.9544$，这是著名的 $2\sigma$ 质量控制准则。

3. 方法推广: 频率分布直方图求中位数时，需寻找面积累计到 $0.5$ 时对应的横坐标值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-16 填-平均数与方差
• 2025-新高考II卷-01 单-平均数
• 2013-江苏卷-06 填-平均数