2022-浙江卷-03 单-线性规划

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及线性规划求目标函数最值。

📌【题干】

Question

（2022年浙江卷） 若实数 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-2⩾0\\ 2x+y-7⩽0\\ x-y-2⩽0\end{array}$，则 $z=3x+4y$ 的最大值是()

A. $20$　　　　　　　B. $18$　　　　　　　C. $13$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

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本题是标准的线性规划求最值问题。核心解题步骤如下：

1. 画（划）：在直角坐标系中准确画出不等式组所表示的平面区域（即可行域）。

2. 移（化）：将目标函数 $z=3x+4y$ 化为斜截式 $y=-\frac{3}{4}x+\frac{z}{4}$，明确 $z$ 的几何意义（与直线在 $y$ 轴上的截距正相关）。

3. 求（算）：平移直线，找到使截距最大的边界点（交点），或者直接使用“角点法”求出可行域各顶点的坐标，代入目标函数比较大小即可。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解法一：图解法（平移目标函数线）

由约束条件 $\{\begin{array}{l}x⩾2\\ y⩽-2x+7\\ y⩾x-2\end{array}$，

画出对应的直线 $l_1:x=2$，$l_2:2x+y-7=0$，$l_3:x-y-2=0$，

可得不等式组表示的平面区域为这三条直线围成的三角形区域（包含边界）。

联立直线方程求出区域的三个顶点：

• 由 $\{\begin{array}{l}x=2\\ 2x+y-7=0\end{array}$，解得交点 $A(2,3)$；

• 由 $\{\begin{array}{l}x=2\\ x-y-2=0\end{array}$，解得交点 $B(2,0)$；

• 由 $\{\begin{array}{l}2x+y-7=0\\ x-y-2=0\end{array}$，解得交点 $C(3,1)$。

将目标函数 $z=3x+4y$ 变形为 $y=-\frac{3}{4}x+\frac{z}{4}$。

这表示一条斜率为 $-\frac{3}{4}$ 的平行线系。当直线在 $y$ 轴上的截距 $\frac{z}{4}$ 最大时，$z$ 取得最大值。

观察图形或比较斜率（$-2<-\frac{3}{4}<1$），当平移直线 $3x+4y-z=0$ 使其经过顶点 $A(2,3)$ 时，直线在 $y$ 轴上的截距最大。

此时 $z_{\max }=3\times 2+4\times 3=18$。

解法二：角点法（快速代入法）

在求出可行域的三个顶点 $A(2,3)$、$B(2,0)$、$C(3,1)$ 后，直接将坐标代入目标函数 $z=3x+4y$ 进行比较：

• 当过点 $A(2,3)$ 时，$z=3\times 2+4\times 3=18$；

• 当过点 $B(2,0)$ 时，$z=3\times 2+4\times 0=6$；

• 当过点 $C(3,1)$ 时，$z=3\times 3+4\times 1=13$。

  比较可知，最大值为 $18$。

故选：B．

本题是一道非常经典且基础的线性规划考题。题目给定的约束条件构成的封闭区域（三角形）非常清晰，交点坐标也全是整数，计算量适中，充分考查了考生的数形结合能力和基础代数运算能力。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 画图的准确性：线性规划的命门在于“图”。画图时务必找准截距，画准斜率，分清边界是实线还是虚线（本题带有等号，皆为实线），以及区域在哪一侧。

2. 截距与最值的关系：对于目标函数 $z=Ax+By$，转化为 $y=-\frac{A}{B}x+\frac{z}{B}$ 后，一定要注意 $B$ 的符号。若 $B>0$（如本题 $B=4$），则截距最大时 $z$ 最大；若 $B<0$，则截距最大时 $z$ 反而最小。

3. “角点法”的实战价值：在选择题和填空题中，只要确定了可行域是封闭的多边形，强烈建议直接求出所有顶点的坐标并代入目标函数比大小，这种“角点法”往往比平移直线更不易出错，也更加简单粗暴。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-广东卷文-12 填-线性规划最大值
• 2008-湖北卷文-05 单-不等式组平面区域
• 2008-湖南卷文-03 单-线性规划最小值