2022-浙江卷-17 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积与线性运算，以及正多边形的对称性与中心性质。

📌【题干】

Question

（2022年浙江卷） 设点 $P$ 在单位圆的内接正八边形 $A_1{A}_2\dots A_8$ 的边 $A_1{A}_2$ 上，则 ${\overrightarrow{P{A}_1}}^2+{\overrightarrow{P{A}_2}}^2+\dots +{\overrightarrow{P{A}_8}}^2$ 的取值范围是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

本题要求解点 $P$ 到正八边形 8 个顶点距离的平方和的取值范围。

直接求 8 条线段的长度平方是非常繁琐的，解题的核心思想是**“寻找参考系”**（或者说寻找特殊点）。

正八边形拥有完美的中心对称性，它的外接圆圆心（也是正八边形的中心/重心）$O$ 是最理想的参考点。

1. 转化式子：无论是建立以 $O$ 为原点的直角坐标系，还是利用以 $O$ 为起点的向量 $\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{O{A}_i}$ 进行展开，都能利用对称性极大地化简式子。

2. 化简结果：通过化简可以发现，这个平方和最终只与点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离 $|OP|$ 有关。

3. 求极值：点 $P$ 在弦 $A_1{A}_2$ 上运动，距离圆心最近的点是弦的中点，最远的点是端点 $A_1$ 或 $A_2$。求出 $|OP{|}^2$ 的范围即可得到最终答案。

✅【答案】

点击查看答案

$[12+2\sqrt{2},16]$

✍【详细解析】

Abstract

解法一：向量代数法（强烈推荐，利用对称性）

设正八边形的外接圆圆心为 $O$。

对于任意一个顶点 $A_i$ ($i=1,2,\dots ,8$)，利用向量加法有：$\overrightarrow{P{A}_i}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{O{A}_i}$。

将目标式展开：

\sum_{i=1}^{8} \overrightarrow{PA_i}^2 = \sum_{i=1}^{8} (\overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OA_i})^2$$$$= \sum_{i=1}^{8} \left( \overrightarrow{PO}^2 + \overrightarrow{OA_i}^2 + 2\overrightarrow{PO} \cdot \overrightarrow{OA_i} \right)$$$$= \sum_{i=1}^{8} |\overrightarrow{PO}|^2 + \sum_{i=1}^{8} |\overrightarrow{OA_i}|^2 + 2\overrightarrow{PO} \cdot \left( \sum_{i=1}^{8} \overrightarrow{OA_i} \right)

由于 $A_1{A}_2\dots A_8$ 是单位圆的内接正八边形：

1. 圆的半径为 1，所以 $|\overrightarrow{O{A}_i}{|}^2=1^2=1$。

2. 根据正多边形的中心对称性质，各顶点关于圆心的位置向量之和为零向量，即 ${\sum }_{i=1}^8\overrightarrow{O{A}_i}=\vec{0}$。

代入上式得：

${\sum }_{i=1}^8{\overrightarrow{P{A}_i}}^2=8|\overrightarrow{PO}{|}^2+8\times 1+2\overrightarrow{PO}\cdot \vec{0}=8|\overrightarrow{OP}{|}^2+8$

（成功将复杂的 8 个项化简为关于 $|OP|$ 的单变量函数！）

接下来求 $|\overrightarrow{OP}{|}^2$ 的取值范围。

点 $P$ 在边 $A_1{A}_2$ 上运动。$△O{A}_1{A}_2$ 是等腰三角形，其中 $O{A}_1=O{A}_2=1$，顶角 $\angle A_{1}O{A}_2=\frac{360^{\circ }}{8}=45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$。

• 当 $P$ 运动到 $A_1{A}_2$ 的中点时，$|OP|$ 取得最小值（弦心距），此时 $|OP{|}_{\min }=1\times \cos \left(\frac{45^{\circ }}{2}\right)=\cos \frac{\pi }{8}$。

• 当 $P$ 运动到端点 $A_1$ 或 $A_2$ 时，$|OP|$ 取得最大值（圆的半径），此时 $|OP{|}_{\max }=1$。

利用半角公式求 ${\cos }^2\frac{\pi }{8}$：

${\cos }^2\frac{\pi }{8}=\frac{1+\cos \frac{\pi }{4}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$

所以：

$\frac{2+\sqrt{2}}{4}⩽|\overrightarrow{OP}{|}^2⩽1$

将其代入式子 $8|\overrightarrow{OP}{|}^2+8$ 中：

• 最小值：$8\times \left(\frac{2+\sqrt{2}}{4}\right)+8=2(2+\sqrt{2})+8=12+2\sqrt{2}$

• 最大值：$8\times 1+8=16$

所以取值范围是 $[12+2\sqrt{2},16]$。

解法二：解析坐标法（硬解法）

以圆心 $O$ 为原点建立平面直角坐标系。设点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$。

设正八边形 8 个顶点的坐标分别为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_8,y_8)$。

目标式为动点 $P$ 到 8 个顶点的距离平方和：

S = \sum_{i=1}^{8} [(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2]$$$$= \sum_{i=1}^{8} (x^2 + y^2 - 2xx_i - 2yy_i + x_i^2 + y_i^2)$$$$= 8(x^2 + y^2) - 2x\sum_{i=1}^{8}x_i - 2y\sum_{i=1}^{8}y_i + \sum_{i=1}^{8}(x_i^2 + y_i^2)

根据正八边形的对称性：

1. 顶点的横坐标之和 $\sum x_i=0$。

2. 顶点的纵坐标之和 $\sum y_i=0$。

3. 顶点均在单位圆上，满足 $x_i^2+y_i^2=1$，故 $\sum (x_i^2+y_i^2)=8\times 1=8$。

代入化简得：

$S=8(x^2+y^2)+8$

由于 $x^2+y^2$ 表示点 $P(x,y)$ 到原点 $O$ 的距离平方 $|OP{|}^2$。

后续步骤同解法一，求得 $\frac{2+\sqrt{2}}{4}⩽x^2+y^2⩽1$。

代入得 $S\in [12+2\sqrt{2},16]$。

故答案为：$[12+2\sqrt{2},16]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 考点提炼：平面向量的模长平方展开、正多边形的位置向量求和性质、三角函数的半角公式降幂。

• 思想方法：“几何问题代数化”和“代数化简依赖几何对称性”。无论用向量还是坐标，都必须敏锐地察觉到 $\sum \overrightarrow{O{A}_i}=\vec{0}$ 或者 $\sum x_i=\sum y_i=0$ 这一关键性质，否则陷入强行展开 8 个点坐标的泥潭将耗费巨量时间。

• 易错点提示：在计算弦心距 $|OP{|}_{\min }$ 时，容易将 $\angle A_{1}O{A}_2$ 的一半（$22.5^{\circ }$ 或 $\frac{\pi }{8}$）算错，或者在运用半角公式 ${\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{2}$ 时漏掉分母的 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

高阶结论：正多边形的距离平方和公式（莱布尼茨定理推广）

对于半径为 $R$ 的圆内接正 $n$ 边形 $A_1{A}_2\dots A_n$，平面内任意一点 $P$ 到各个顶点的距离的平方和存在如下恒等式：

${\sum }_{i=1}^n|P{A}_i{|}^2=n\cdot (|PO{|}^2+R^2)$

(注：$O$ 为圆心，也是正 $n$ 边形的重心)

快速求解本题：

本题中 $n=8$，$R=1$，直接套用公式：平方和 $=8(|PO{|}^2+1)=8|PO{|}^2+8$。

一步到位！只需再求 $PO$ 的范围即可。这个公式在处理“对称图形 + 距离平方和”时属于简化处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2013-新课标II卷理-13 填-平面向量数量积的性质及运算
• 2013-辽宁卷文-17 解-向量模与数量积