2013-辽宁卷文-17 解-向量模与数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积。核心在于模平方展开、降幂公式的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） 设向量 $\vec{a}=\left(\sqrt{3}\sin x,\sin x\right)$，$\vec{b}=\left(\cos x,\sin x\right)$，$x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$.

(1)若 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$，求 $x$ 的值；

(2)设函数 $f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}$，求 $f(x)$ 的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $(1)$ $4{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$ → $\sin x=\frac{1}{2}$ → $x=\frac{\pi }{6}$。
2. $(2)$ $f(x)=\frac{1}{2}+\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$；$x=\frac{\pi }{3}$ 时取最大 $\frac{3}{2}$。

✅【答案】

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(1)$x=\frac{\pi }{6}$；(2)最大值为 $\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $|\vec{a}{|}^2=3{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}x=4{\sin }^{2}x$，$|\vec{b}{|}^2={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$。 由 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$：$4{\sin }^{2}x=1$，$\sin x=\frac{1}{2}$（$x\in [0,\frac{\pi }{2}]$，$\sin x>0$）。 故 $x=\frac{\pi }{6}$。 （2） $f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}=\sqrt{3}\sin x\cos x+{\sin }^{2}x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1-\cos 2x}{2}$ $=\frac{1}{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x\right)=\frac{1}{2}+\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right).$ $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时 $2x-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$，包含 $\frac{\pi }{2}$。 当 $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$，即 $x=\frac{\pi }{3}\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时，$f(x)$ 取最大值 $\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量模与数量积（三角最值）

核心方法：$(1)$ $4{\sin }^{2}x=1$ → $x=\frac{\pi }{6}$；$(2)$ $f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1}{2}+\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ → 最大值 $\frac{3}{2}$

避坑指南：数量积展开后降幂化一角一名：${\sin }^{2}x$ 用 $\frac{1-\cos 2x}{2}$；最大值要验证相位 $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$ 对应的 $x=\frac{\pi }{3}$ 落在给定区间 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 内——不检验区间就写”最大值 $\frac{3}{2}$“过程不完整。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量模的条件与数量积的三角最值。

结论推广：同角关系；降幂 + 辅助角。

方法推广：$|a{|}^2=|b{|}^2$ → 解 $\sin x$；数量积降幂合并 → 区间内定最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-15 解-三角恒等变换求角
• 2013-浙江卷文-06 单-三角周期振幅
• 2013-新课标I卷文-16 填-三角函数最值