2022-甲卷文-02 单-数字特征

本题导读

本题考查中位数与平均数，以及标准差与方差。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷文） 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率，如图：

则()

A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 $70\%$

B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 $85\%$

C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 A 选项（中位数）：从图中读取讲座前正确率的数据并按升序排列，找到第 5 和第 6 个数据的平均值，与 $70\%$ 进行比较。

2. 分析 B 选项（平均数）：读取讲座后正确率的数据，直接求和并除以 10 计算平均数，与 $85\%$ 进行比较。

3. 分析 C 选项（标准差）：标准差反映数据的离散程度。观察散点图，看讲座前和讲座后的数据点分布哪个更分散，分散程度越大的标准差越大。

4. 分析 D 选项（极差）：极差等于最大值减去最小值。分别求出讲座前和讲座后正确率的极差并比较大小。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

1. 判定 A 选项（中位数）：

从散点图中提取讲座前问卷答题的正确率，从小到大排序为：

$60\%,60\%,65\%,65\%,70\%,75\%,80\%,85\%,90\%,95\%$．

因为共有 10 个数据，中位数为中间两个数（第 5 个和第 6 个）的平均数：

中位数 $=\frac{70\%+75\%}{2}=72.5\%$．

显然 $72.5\%>70\%$，故 A 选项错误．

2. 判定 B 选项（平均数）：

提取讲座后问卷答题的正确率数据：

$80\%,85\%,85\%,85\%,85\%,90\%,90\%,95\%,100\%,100\%$．

计算其平均数：

$\bar{x}=\frac{1}{10}(80\%+85\%\times 4+90\%\times 2+95\%+100\%\times 2)$

$\bar{x}=\frac{1}{10}(80\%+340\%+180\%+95\%+200\%)=\frac{895\%}{10}=89.5\%$．

显然 $89.5\%>85\%$，故 B 选项正确．

3. 判定 C 选项（标准差）：

由散点图形分布可知：讲座前问卷答题的正确率分布在 $60\%$ 到 $95\%$ 之间，跨度较大，相对分散；而讲座后问卷答题的正确率分布在 $80\%$ 到 $100\%$ 之间，且多数集中在 $85\%$ 和 $90\%$，相对集中。

数据越分散，标准差越大，因此讲座前正确率的标准差应大于讲座后正确率的标准差。

故 C 选项错误．

4. 判定 D 选项（极差）：

极差 $=$ 最大值 $-$ 最小值．

• 讲座前正确率的极差为：$95\%-60\%=35\%$．

• 讲座后正确率的极差为：$100\%-80\%=20\%$．

  显然 $20\%<35\%$，即讲座后的极差小于讲座前的极差。

  故 D 选项错误．

结论：

综合以上分析，正确选项为 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 直观判断离散度：在处理标准差（或方差）的判定时，尽量避免直接用复杂公式计算，应优先通过观察数据分布的**“集中程度”**来定性判断。

  2. 中位数求法：当样本容量 $n$ 为偶数时，中位数为中间两项的算术平均值；排序（升序或降序）是找中位数不可省略的第一步。

• 规律总结：此类题目通常将四种基本统计量（平均数、中位数、极差、标准差/方差）分布在四个选项中，要求考生在读图获取数据后快速进行计算或定性分析，属于典型的易得分题。

• 避坑指南：

  • 在计算平均数或中位数时，一定要看清问的是“讲座前”还是“讲座后”的数据，防止张冠李戴。

  • 在散点图提取数据时，相同数值的点如果有重叠或横向并列，切勿漏数（例如讲座后有 4 个 $85\%$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.02 百分位数与四分位数
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-06 填-平均数
• 2025-新高考II卷-01 单-平均数
• 2008-上海卷文-10 填-中位数与方差最小