2022-甲卷文-09 单-长方体线面角

本题导读

本题考查长方体性质，以及直线与平面所成的角。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷文） 在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，已知 $B_{1}D$ 与平面 $ABCD$ 和平面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 所成的角均为 $30^{\circ }$，则()

A. $AB=2AD$　　　　　　　　B. $AB$ 与平面 $A{B}_1{C}_{1}D$ 所成的角为 $30^{\circ }$

C. $AC=C{B}_1$　　　　　　　　D. $B_{1}D$ 与平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 所成的角为 $45^{\circ }$

🔍【思路分析】

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1. 明确线面角的定义：直线与平面所成的角，即直线与其在该平面上的射影所夹的角。寻找线面角的关键是找到垂线。

2. 提取棱长比例关系：利用 $B_{1}D$ 与平面 $ABCD$ 所成的角为 $30^{\circ }$，以及与平面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 所成的角为 $30^{\circ }$，建立长方体长、宽、高之间的比例关系。为了简化计算，可使用赋值法，不妨令高 $A{A}_1=1$。

3. 计算各棱长：在相关的直角三角形中利用三角函数和勾股定理算出长和宽。

4. 逐项判定：根据求得的长、宽、高具体数值，分别计算四个选项中的几何量以验证其真伪。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

1. 设定参数与找射影角：

在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，不妨令高 $A{A}_1=B{B}_1=1$．

• 分析 $B_{1}D$ 与平面 $ABCD$ 所成的角：

  因为 $B_{1}B\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $BD$ 是 $B_{1}D$ 在平面 $ABCD$ 上的射影．

  故 $\angle B_{1}DB$ 即为 $B_{1}D$ 与平面 $ABCD$ 所成的角，$\angle B_{1}DB=30^{\circ }$．

  在 $\text{Rt}△BD{B}_1$ 中：

  $B_{1}D=\frac{B{B}_1}{\sin 30^{\circ }}=\frac{1}{1/2}=2$；

  $BD=\frac{B{B}_1}{\tan 30^{\circ }}=\frac{1}{\sqrt{3}/3}=\sqrt{3}$．

• 分析 $B_{1}D$ 与平面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 所成的角：

  因为 $DA\perp$ 平面 $A{A}_1{B}_{1}B$，所以 $A{B}_1$ 是 $B_{1}D$ 在平面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 上的射影．

  故 $\angle D{B}_{1}A$ 即为 $B_{1}D$ 与平面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 所成的角，$\angle D{B}_{1}A=30^{\circ }$．

  在 $\text{Rt}△DA{B}_1$ 中：

  $DA=B_{1}D\cdot \sin 30^{\circ }=2\times \frac{1}{2}=1$；

  $A{B}_1=B_{1}D\cdot \cos 30^{\circ }=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$．

2. 计算其余棱长：

现已知宽 $AD=1$，高 $B{B}_1=1$，对角线 $A{B}_1=\sqrt{3}$．

在 $\text{Rt}△AB{B}_1$ 中，根据勾股定理：

长 $AB=\sqrt{A{B}_1^2-B{B}_1^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2-1^2}=\sqrt{2}$．

综上，长方体的尺寸为：长 $AB=\sqrt{2}$，宽 $AD=1$，高 $A{A}_1=1$．

3. 逐项验证：

• 判定 A 选项：$AB=\sqrt{2}$，$2AD=2$。显然 $AB\ne 2AD$，故 A 错误．

• 判定 B 选项：求 $AB$ 与平面 $A{B}_1{C}_{1}D$ 所成的角。

  易证平面 $AB{B}_1{A}_1\perp$ 平面 $A{B}_1{C}_{1}D$，交线为 $A{B}_1$。在平面 $AB{B}_1{A}_1$ 内作 $B$ 到 $A{B}_1$ 的垂线，垂足即为体现。

  实际上，所求角的正弦值为 $\frac{B{B}_1}{A{B}_1}$（利用等面积法或几何关系可得 $\sin \theta =\frac{B{B}_1}{A{B}_1}$ 或直接在直角三角形中求角）。

  在 $\text{Rt}△AB{B}_1$ 中，该角实际上是 $\angle BA{B}_1$。

  $\sin \angle BA{B}_1=\frac{B{B}_1}{A{B}_1}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

  因为 $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\ne \frac{\sqrt{3}}{3}$，故 B 错误．

  

• 判定 C 选项：

  $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+1^2}=\sqrt{3}$；

  $C{B}_1=\sqrt{B{C}^2+C{C}_1^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$．

  显然 $AC\ne C{B}_1$，故 C 错误．

• 判定 D 选项：求 $B_{1}D$ 与平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 所成的角。

  因为 $DC\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$，所以 $B_{1}C$ 是 $B_{1}D$ 在该平面上的射影．

  所成的角为 $\angle D{B}_{1}C$．

  在 $\text{Rt}△DC{B}_1$ 中，$DC=AB=\sqrt{2}$，$C{B}_1=\sqrt{2}$（上一步已求）．

  所以 $\tan \angle D{B}_{1}C=\frac{DC}{C{B}_1}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$．

  故 $\angle D{B}_{1}C=45^{\circ }$．故 D 正确．

结论：

正确选项为 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 赋值法（特殊化）：在立体几何选择题中，如果给出的都是角度等比例关系，说明该几何体的大小是缩放自由的。直接为某条棱“赋一个易于计算的值”（如 $1$ 或 $2$），能将枯燥的字母推导瞬间转化为小学算术题，极大地提升解题速度和准确率。

  2. 找线面角的“三步曲”：一找垂线（从斜线上一点向平面作垂线），二找射影（连接斜足和垂足），三求角度（在直角三角形中利用三角函数求解）。

• 避坑指南：在寻找射影时，务必利用长方体自身固有的线面垂直关系（如 $DA\perp \text{面}AB{B}_1{A}_1$），切忌凭感觉乱画体现线。

📖【试题探源与推广】

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1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 1995-全国卷理-23
• 2004-江苏卷-18 解-正方体的几何性质