2022-甲卷文-13 填-向量垂直

本题导读

本题考查平面向量垂直的坐标表示，以及平面向量的数量积。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷文） 已知向量 $\mathbf{a}=(m,3)$，$\mathbf{b}=(1,m+1)$。若 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$，则 $m$ = $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据两非零向量垂直的等价条件 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$，建立关于 $m$ 的代数方程。
2. 展开并求解该一元一次方程。

✅【答案】

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$-\frac{3}{4}$（或 $-0.75$）

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\mathbf{a}=(m,3)$，$\mathbf{b}=(1,m+1)$，且 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$， 所以 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$。

根据向量数量积的坐标运算公式可得： $m\times 1+3\times (m+1)=0$

展开并化简： $m+3m+3=0$ $4m+3=0$

解得： $m=-\frac{3}{4}$

故答案为：$-\frac{3}{4}$（或 $-0.75$）

🎯 【考点归纳与避坑指南】

1. 核心考点：向量垂直的坐标充要条件 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}⟺x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$。
2. 核心方法：将几何垂直关系直接转化为代数数量积为 0 的方程。
3. 避坑指南：混淆向量垂直与平行的坐标表示条件（向量平行条件为 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算