2022-甲卷理-11 单-三角函数零点

本题导读

本题考查零点与极值点，以及周期性。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷理） 设函数 $f(x)=\sin (\omega x+\frac{\pi }{3})$ 在区间 $(0,\pi )$ 恰有三个极值点、两个零点，则 $\omega$ 的取值范围是()

A. $[\frac{5}{3},\frac{13}{6})$　　B. $[\frac{5}{3},\frac{19}{6})$　　C. $(\frac{13}{6},\frac{8}{3}]$　　D. $(\frac{13}{6},\frac{19}{6}]$

🔍【思路分析】

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1. 判定 $\omega$ 的符号：首先排除 $\omega ⩽0$ 的不合理情况，确认 $\omega >0$。

2. 整体代换化归基础函数：令 $t=\omega x+\frac{\pi }{3}$，结合 $x\in (0,\pi )$，求出整体自变量 $t$ 的取值范围。问题转化为基础函数 $y=\sin t$ 在该区间内的零点与极值点个数问题。

3. 画图/枚举寻找关键点：在正弦曲线 $y=\sin t$ 上，按顺序从小到大列出位于起始点 $\frac{\pi }{3}$ 之后的几个极值点和零点。

4. 建立临界值不等式：根据“恰有三个极值点、两个零点”的条件，将 $t$ 的右侧端点“卡”在对应的关键点之间。特别注意由于原区间是开区间，需要仔细判定端点处的开闭（是否能取等号）。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

1. 判定 $\omega$ 的符号：

若 $\omega ⩽0$，则 $f(x)$ 在 $(0,\pi )$ 上的极值点不可能比零点多（例如 $\omega =0$ 时为常数，无极值点与零点；$\omega <0$ 时的波动情况亦不满足题意），故必须有 $\omega >0$．

2. 整体代换确定范围：

令 $t=\omega x+\frac{\pi }{3}$．

因为 $x\in (0,\pi )$，且 $\omega >0$，

所以整体变量 $t$ 的取值范围为：$t\in \left(\frac{\pi }{3},\omega \pi +\frac{\pi }{3}\right)$．

原函数转化为研究基础函数 $y=\sin t$ 在该开区间上的性态．

3. 分析 $y=\sin t$ 在 $t>\frac{\pi }{3}$ 时的极值点与零点分布：

随着 $t$ 逐渐增大，正弦函数依次经过：

• 第 1 个极值点（极大值）：$t_1=\frac{\pi }{2}$；

• 第 1 个零点：$t_2=\pi$；

• 第 2 个极值点（极小值）：$t_3=\frac{3\pi }{2}$；

• 第 2 个零点：$t_4=2\pi$；

• 第 3 个极值点（极大值）：$t_5=\frac{5\pi }{2}$；

• 第 3 个零点：$t_6=3\pi$．

4. 建立关于右端点的不等式组：

题目要求在开区间 $\left(\frac{\pi }{3},\omega \pi +\frac{\pi }{3}\right)$ 内恰有三个极值点和两个零点。

这意味着，该区间的右端点必须“越过”第 3 个极值点 $\frac{5\pi }{2}$，但绝不能“包住”第 3 个零点 $3\pi$．

• 考虑左边界：若右端点恰好等于 $\frac{5\pi }{2}$，因为是开区间，取不到该点，极值点就只有 2 个了，所以必须严格大于 $\frac{5\pi }{2}$．

• 考虑右边界：若右端点恰好等于 $3\pi$，因为是开区间，同样取不到该点，此时包含的零点依旧只有 $\pi$ 和 $2\pi$ 这 2 个，符合题意，所以可以取等号．

由此建立不等式：

$\frac{5\pi }{2}<\omega \pi +\frac{\pi }{3}⩽3\pi$

5. 求解 $\omega$ 的范围：

各项同时除以 $\pi$：

$\frac{5}{2}<\omega +\frac{1}{3}⩽3$

各项同时减去 $\frac{1}{3}$：

$\frac{5}{2}-\frac{1}{3}<\omega ⩽3-\frac{1}{3}$

通分计算得：

\frac{15 - 2}{6} < \omega \leqslant \frac{9 - 1}{3}$$$$\frac{13}{6} < \omega \leqslant \frac{8}{3}

即 $\omega \in \left(\frac{13}{6},\frac{8}{3}\right]$．

结论：

对应选项 C 正确．

如图，设$f(x)$在$[0,\pi ]$上三个极值点为$x_1,x_2,x_3$, 三个零点为$x_4,x_5,x_6$,

由题$f(x)$在$(0,\pi )$上恰有三个极值点, 两个零点,

∴$x_3<\pi \le x_6$,

可得$\{\begin{array}{l}\omega x_3+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{2}\\ \omega x_6+\frac{\pi }{3}=3\pi \end{array}$

解得 $x_3=\frac{13\pi }{6\omega },x_6=\frac{8\pi }{3\omega },\therefore \frac{13\pi }{6\omega }<\pi \le \frac{8\pi }{3\omega }\therefore \frac{13}{6}<\omega \le \frac{8}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 整体代换法：处理 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 图象问题的“黄金准则”，将复杂的相位转化为标准正弦函数的单变量 $t$。

  2. 画数轴/排队列：把 $\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi ...$ 依次排开，像游标卡尺一样把右端点放在指定的两个刻度之间，能极大提高直观性。

• 规律总结：由于正弦函数在半个周期内会交替出现零点和极值点，因此“极值点比零点多一个”通常说明函数的截断位置刚好“收尾”于一个波峰或波谷之后、跨越 $x$ 轴之前。

• 避坑指南：端点取等问题（重中之重）。

  • 当定义域为开区间 $(0,\pi )$ 时，右端点碰到了目标刻度（如 $3\pi$）是“吃”不进去的，所以如果题意不要这个点，就可以碰它（取等号 $⩽$）；如果题意必须包含前面的某个点（如 $\frac{5\pi }{2}$），那右边界就必须越过去，碰它是不够的（只能取 $<$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-11 单-分段函数
• 2013-新课标I卷理-16 填-函数对称性
• 2013-新课标I卷理-21 解-曲线上某点切线方程