2023-上海卷-10 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项展开式的通项公式，以及指数函数及其性质。

📌【题干】

Question

（2023年上海卷）已知 $(1+2023x{)}^{100}+(2023-x{)}^{100}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_{99}{x}^{99}+a_{100}{x}^{100}$，若存在 $k\in \{0,1,2,\cdots ,100\}$ 使得 $a_k<0$，则 $k$ 的最大值为 ________．

🔍【思路分析】

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1. 构建通项模型：根据二项式定理，分别写出两个独立多项式展开式的第 $r+1$ 项。
2. 提取目标系数：令 $r=k$，将两段包含 $x^k$ 的项进行合并，提取出各项系数和 $a_k$ 的通用表达式。
3. 分情况讨论符号：由 $a_k<0$ 以及组合数恒正的特点，锁定内部代数式的正负符号。根据 $(-1{)}^k$ 项对 $k$ 的奇偶性实施分类讨论，排除不合题意的偶数情况。
4. 利用单调性解出范围：在 $k$ 为奇数的前提下，利用底数大于 1 的指数函数单调性解出一元一次不等式，从而锁定满足条件的最大奇数。

✅【答案】

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49

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分别求出两个二项展开式的通项公式 对于二项式 $(1+2023x{)}^{100}$，其展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_{100}^r(1{)}^{100-r}(2023x{)}^r={\mathrm{C}}_{100}^r\cdot 2023^r\cdot x^r$ 其中 $r\in \{0,1,2,\dots ,100\}$。

对于二项式 $(2023-x{)}^{100}$，其展开式的通项公式为： $T_{r+1}^{\prime }={\mathrm{C}}_{100}^r(2023{)}^{100-r}(-x{)}^r={\mathrm{C}}_{100}^r\cdot 2023^{100-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^r$ 其中 $r\in \{0,1,2,\dots ,100\}$。

第二步：合并同类项求出 $x^k$ 的系数 $a_k$ 令 $r=k$，将上述两个通项中包含 $x^k$ 的系数进行加和，提取公因式 ${\mathrm{C}}_{100}^k$ 得： $a_k={\mathrm{C}}_{100}^k\cdot 2023^k+{\mathrm{C}}_{100}^k\cdot 2023^{100-k}\cdot (-1{)}^k$ $a_k={\mathrm{C}}_{100}^k\left[2023^k+2023^{100-k}\cdot (-1{)}^k\right]$ 其中 $k\in \{0,1,2,\dots ,100\}$。

第三步：基于 $a_k<0$ 的条件对 $k$ 的奇偶性进行分类讨论 在组合数性质中，对于任意 $k\in \{0,1,2,\dots ,100\}$，恒有 ${\mathrm{C}}_{100}^k>0$。 要使 $a_k<0$，必须且只需满足中括号内的代数式小于 0： $2023^k+2023^{100-k}\cdot (-1{)}^k<0$

• 当 $k$ 为偶数时：$(-1{)}^k=1$，则 $2023^k+2023^{100-k}>0$ 恒成立，此时 $a_k>0$，不满足题意。
• 当 $k$ 为奇数时：$(-1{)}^k=-1$，代数式化为： $2023^k-2023^{100-k}<0⟹2023^k<2023^{100-k}$

第四步：利用指数单调性求解范围并确定最大值 由于底数 $2023>1$，指数函数 $y=2023^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。 根据单调性性质，由底数相同幂的大小关系可直接转化为对应指数的大小关系： $k<100-k⟹2k<100⟹k<50$

已知 $k$ 必须满足为奇数，且 $k<50$。 在此可行域范围内，最大的正奇数为 49。

故答案为：49。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式标准通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的建立、由 $(-1{)}^k$ 控制的分段符号律、底数大于 1 的指数不等式。
2. 核心方法：通项公式分析法、奇偶项分类讨论法。
3. 避坑指南：

• 负号因子遗漏：在写第二个多项式 $(2023-x{)}^{100}$ 的通项时，必须将项中的 $-x$ 分解为 $(-1)\cdot x$，切勿漏掉 $(-1{)}^r$ 这个决定项符号正负的核心因子。
• 逻辑自洽缺失：部分学生解得 $k<50$ 时，习惯性通过 $50-1=49$ 直接得出答案，虽然数值正确但逻辑存在重大漏洞（如果此题中合并项计算出的结果对应偶数项为负，则应取 48）。在考场上必须明确经历“偶数项为正，奇数项方可为负”这一层筛选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题作为上海高考填空题中后段的代数综合题，将解析层面的二项式定理与初等函数性质深度交汇，是一道考查分类探讨、化归思维的标准中档题。
2. 结论推广：对于形如 $F(x)=(1+Ax{)}^n+(A-x{)}^n(A>1,n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ 的多项式展开式系数 $a_k$：

• 所有的偶数项系数 $a_{2m}$ 恒为正数；
• 所有的奇数项系数 $a_{2m+1}$ 的正负符号完全由指数大小控制。若要使其系数项为负数，对应奇数标号必须满足且仅满足：$k<\frac{n}{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 1997-全国卷理-16 填-二项式展开式的系数
• 1998-全国卷理-17