2023-上海卷-19 解-概率分布

本题导读

本题考查条件概率与事件的独立性。核心在于缩小样本空间法（古典概型与条件概率）、排列组合分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年上海卷）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：

	红色外观	蓝色外观
棕色内饰	12	8
米色内饰	2	3

（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件 $A$ 为小明取到红色外观的模型，事件 $B$ 为小明取到棕色内饰的模型，求 $P(B)$ 和 $P(B|A)$，并判断事件 $A$ 和事件 $B$ 是否独立；

（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：

• 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即“外观和内饰均为同色”、“外观和内饰都异色”、以及“仅外观或仅内饰同色”；
• 假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
• 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；

请你分析奖项对应的结果，设 $X$ 为奖金额，写出 $X$ 的分布列并求出 $X$ 的数学期望．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问：

• 计算 $P(B)$：利用古典概型，用“棕色内饰模型总数”除以“模型总数 25”。
• 计算 $P(B|A)$：采用“缩小样本空间法”，在已知事件 $A$（红色外观模型共 $12+2=14$ 个）发生的条件下，统计属于事件 $B$（棕色内饰）的数量（12个），直接得出概率。
• 独立性判定：验证 $P(AB)=P(A)P(B)$ 是否成立，若不成立则两事件不独立。

2. 第（2）问：

• 确定基本事件总数：从 25 个模型中随机抽取 2 个，总数为 ${\mathrm{C}}_{25}^2=300$。
• 分类讨论计数：
  • 外观和内饰均为同色：在表格中的同一个单元格内任取 2 个进行组合。
  • 外观和内饰都异色：两个模型跨越对角线单元格两两组合（红外棕内搭配蓝外米内，或红外米内搭配蓝外棕内）。
  • 仅外观或仅内饰同色：利用全概率对立事件性质，用 1 减去前两者的概率之和。
• 对齐奖金并求期望：依据“概率越小、奖金越高”的规则，将三种情况的概率按从小到大排序，分别对应 600 元、300 元和 150 元，写出分布列并套用期望公式 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ 计算。

✅【答案】

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(1) $P(B)=\frac{4}{5}$，$P(B|A)=\frac{6}{7}$

事件 $A$ 与 $B$ 不独立

(2) $X$ 的分布列为 $P(X=150)=\frac{1}{2}$，$P(X=300)=\frac{49}{150}$，$P(X=600)=\frac{26}{150}$

$E(X)=277$ 元

✍【详细解析】

Abstract

（1）求概率并判断独立性

由题意，汽车模型总数为 $25$ 个。

事件 $A$（红色外观）包含的模型数为：$12+2=14$ 个，故 $P(A)=\frac{14}{25}$。 事件 $B$（棕色内饰）包含的模型数为：$12+8=20$ 个，故 $P(B)=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$。 事件 $AB$（既是红色外观又是棕色内饰）包含的模型数为 $12$ 个，故 $P(AB)=\frac{12}{25}$。

根据条件概率公式，或采用缩小样本空间法（在红色外观的 14 个模型中抽取棕色内饰的 12 个模型）： $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{12}{14}=\frac{6}{7}$

判断事件的独立性： $P(A)\cdot P(B)=\frac{14}{25}\times \frac{4}{5}=\frac{56}{125}$ $P(AB)=\frac{12}{25}=\frac{60}{125}$

因为 $P(AB)\ne P(A)\cdot P(B)$， 所以事件 $A$ 与事件 $B$ 不独立。

（2）求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望

从 25 个汽车模型中随机一次性抽取 2 个，总的基本事件数为： ${\mathrm{C}}_{25}^2=\frac{25\times 24}{2}=300\text{ 种}$

分别计算假设 1 中三种结果对应的基本事件数与概率：

• 结果一：外观和内饰均为同色 即抽出的 2 个模型位于表格中的同一个网格单元内。 包含的取法数为：${\mathrm{C}}_{12}^2+{\mathrm{C}}_8^2+{\mathrm{C}}_2^2+{\mathrm{C}}_3^2=66+28+1+3=98\text{ 种}$。 该结果对应的概率为： $P_1=\frac{98}{300}=\frac{49}{150}$

• 结果二：外观和内饰都异色 即抽出的 2 个模型在外观特征与内饰特征上均不相同，必须在表格中跨越对角线单元格进行交叉搭配。 情况包含两种：

1. 1个“红色外观棕色内饰”与1个“蓝色外观米色内饰”组合：${\mathrm{C}}_{12}^1\times {\mathrm{C}}_3^1=36\text{ 种}$；

2. 1个“蓝色外观棕色内饰”与1个“红色外观米色内饰”组合：${\mathrm{C}}_8^1\times {\mathrm{C}}_2^1=16\text{ 种}$。 包含的取法总数为：$36+16=52\text{ 种}$。 该结果对应的概率为： $P_2=\frac{52}{300}=\frac{26}{150}$

• 结果三：仅外观或仅内饰同色 采用对立事件思想求解： $P_3=1-P_1-P_2=1-\frac{98}{300}-\frac{52}{300}=\frac{150}{300}=\frac{75}{150}$

根据假设 2 规则“概率越小奖项越高”对三种概率进行大小排序： $P_2\left(\frac{26}{150}\right)<P_1\left(\frac{49}{150}\right)<P_3\left(\frac{75}{150}\right)$

结合假设 3 对应的奖金分配方案：

• 概率最小的“结果二”对应一等奖，奖金为 600 元；
• 概率中等的“结果一”对应二等奖，奖金为 300 元；
• 概率最大的“结果三”对应三等奖，奖金为 150 元。

因此，随机变量 $X$ 的可能取值为 $150,300,600$。 $X$ 的分布列如下表所示：

$X$	150	300	600
$P$	$\frac{75}{150}$	$\frac{49}{150}$	$\frac{26}{150}$

计算随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$： $E(X)=150\times \frac{75}{150}+300\times \frac{49}{150}+600\times \frac{26}{150}$ $E(X)=75+2\times 49+4\times 26$ $E(X)=75+98+104=277\text{ 元}$

答：奖金额 $X$ 的数学期望为 277 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：条件概率的缩域求解规律、二维列联表特征计数、数学期望分布列的重组。
2. 核心方法：对角线分步计数法、对立事件转化法。
3. 避坑指南：

• 双维度属性交叉混淆（最易错点）：在计算“外观和内饰都异色”时，极易错误套用单维度属性计算式导致重复。必须牢记“都异色”是指同时在行和列上都不隶属于同一个类别，在列联表中表现为必须沿对角线进行元素互乘。
• 期望计算未对齐分母：在书写分布列概率时，建议保留未约分的统一分母（如 150），这样在最后一步乘法累加计算期望时可以直接消去分母，大幅降低通分带来的大数值计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题取材于实际商业抽奖场景，本质上是概率论中的超几何分布（Hypergeometric distribution）在多维分类特征下的变形应用。题目将常用的 $2\times 2$ 列联表赋予了概率事件划分的内涵，考查学生从表格中分离代数关系、分类讨论和信息加工的能力。

2. 结论推广： 对于任意给定属性分布为如下结构的四宫格模型（总数为 $N=a+b+c+d$）：

	特征 $Y_1$	特征 $Y_2$
特征 $X_1$	$a$	$b$
特征 $X_2$	$c$	$d$

若从中随机不放回抽取 2 个样本，特征全异（即行列都异色）的组合种数恒满足： $M_{\text{全异}}=a\cdot d+b\cdot c$ 特征全同（即同网格）的组合种数恒满足： $M_{\text{全同}}={\mathrm{C}}_a^2+{\mathrm{C}}_b^2+{\mathrm{C}}_c^2+{\mathrm{C}}_d^2$ 此二级计数模型在应对概率解答题中复合事件种数判定时，可以起到快速分类并保障计算稳健的作用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2007-山东卷理-18 解-条件概率
• 2008-大纲卷I理-20