2023-乙卷文-08 单-三次函数零点

本题导读

本题考查三次函数的图象与性质，以及利用导数研究函数的极值。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷文）若函数 $f(x)=x^3+ax+2$ 存在 3 个零点，则 $a$ 的取值范围是（ ）

A. $(-\infty ,-2)$　　　B. $(-\infty ,-3)$　　　C. $(-4,-1)$　　　D. $(-3,0)$

🔍【思路分析】

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1. 分析函数基本结构：$f(x)$ 是一个最高次为 3 的多项式函数。若要存在 3 个零点，其导函数 $f^{\prime }(x)=3x^2+a$ 必须有两个互异的实根，这意味着该函数必须存在极大值和极小值，首先要求 $a<0$。
2. 确定零点充要条件（极值异号法）：

• 设极大值点为 $x_1$，极小值点为 $x_2$。
• 三次函数有 3 个零点的充要条件为：极大值与极小值异号，即 $f(x_1)\cdot f(x_2)<0$。由于 $f(0)=2>0$，根据图像趋势，只需满足极小值 $f(x_2)<0$ 即可。

3. 另解（分离参数法）：将方程 $x^3+ax+2=0$ 变形为 $a=-\frac{x^3+2}{x}$（易知 $x\ne 0$），转化为求动直线 $y=a$ 与新函数 $g(x)=-x^2-\frac{2}{x}$ 图像交点有 3 个时 $a$ 的范围。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解法一：极值异号判定法（最优解） 对函数 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=3x^2+a$

若 $a\ge 0$，则 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 恒成立，此时 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，最多只有 1 个零点，不符题意，故 $a<0$。

当 $a<0$ 时，令 $f^{\prime }(x)=0$，解得两个极值点分别为： $x_1=-\sqrt{-\frac{a}{3}},x_2=\sqrt{-\frac{a}{3}}$

由三次函数的图象特征可知， $x_1$ 为极大值点， $x_2$ 为极小值点。 由于当 $x\to -\infty$ 时 $f(x)\to -\infty$，当 $x\to +\infty$ 时 $f(x)\to +\infty$，且 $f(0)=2>0$。 若要 $f(x)$ 存在 3 个零点，只需满足其极小值小于 0，即： $f\left(\sqrt{-\frac{a}{3}}\right)<0$

将 $x_2=\sqrt{-\frac{a}{3}}$ 代入原函数： ${\left(\sqrt{-\frac{a}{3}}\right)}^3+a\left(\sqrt{-\frac{a}{3}}\right)+2<0$ $-\frac{a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}}+a\sqrt{-\frac{a}{3}}+2<0$ $\frac{2a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}}+2<0⟹\frac{a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}}<-1$

两边同时平方（注意此时等式两边均为负数，平方后不等号反转）： ${\left(\frac{a}{3}\right)}^2\cdot \left(-\frac{a}{3}\right)>(-1{)}^2⟹-\frac{a^3}{27}>1⟹a^3<-27$

解得： $a<-3$ 即 $a$ 的取值范围为 $(-\infty ,-3)$。

故选：B。

解法二：特殊值排除法

• 取 $a=-3$，代入得 $f(x)=x^3-3x+2$。 因式分解得 $f(x)=(x-1{)}^2(x+2)$，此时零点为 $x=1$（重根）和 $x=-2$，只有 2 个零点，不符题意，排除含 $-3$ 的选项，即排除D项。
• 取 $a=-1$，代入得 $f(x)=x^3-x+2$。 其导数 $f^{\prime }(x)=3x^2-1$，极小值点为 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 计算极小值：$f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{9}-\frac{\sqrt{3}}{3}+2=2-\frac{2\sqrt{3}}{9}>0$。 极小值大于 0，说明函数只有 1 个零点，不符题意，排除含 $-1$ 的选项，即排除C项。
• 取 $a=-2.5$，由上述规律可知仍然无法使极小值小于 0，排除A项。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数在函数零点中的应用、三次函数的极值判定。
2. 核心方法：极值控制法。三次函数 $f(x)=x^3+ax+2$ 在两端趋于无穷大的状态下，拥有 3 个零点的充要条件是 $f(x_{\text{极大}})>0$ 且 $f(x_{\text{极小}})<0$。
3. 避坑指南：

• 忽略单调性讨论：未判定 $a<0$ 的前置条件导致盲目开根号。
• 不等式平方符号反转：在变形 $\frac{a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}}<-1$ 时，由于 $a<0$，左侧是一个负数，负数不等式两边平方时，不等号方向必须改变。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》中利用导数研究方程根的个数的经典习题。是高考在函数单调性与零点板块的常规中档题。
2. 结论推广：

• 经典三次函数零点判定定理：对于没有二次项的三次函数 $f(x)=x^3+ax+b(a\ne 0)$，其存在 3 个互异零点的充要条件满足判别式： $\Delta =4a^3+27b^2<0$
• 本题中 $b=2$，代入该通用判别式验证：$4a^3+27\times 2^2<0⟹4a^3+108<0⟹a^3<-27⟹a<-3$。该判别式来自于高等数学中**盛金公式（Shengjin’s formulas）**及三次方程判别式的代数推导，熟记此结论可在选择题中实现快速求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.04 三次函数性质全总结
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-10 单-导数极值
• 2013-重庆卷理-06 单-零点存在性定理
• 2003-上海卷理-10