2023-乙卷文-11 单-圆的参数方程

本题导读

本题考查圆的方程与几何性质，以及圆的参数方程。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷文）已知 $x,y$ 满足 $x^2+y^2-4x-2y-4=0$，则 $x-y$ 的最大值是（ ）

A. $1+\frac{3\sqrt{2}}{2}$　　　　　　B. 4　　　　　　C. $1+3\sqrt{2}$　　　　　　D. 7

🔍【思路分析】

破题导航

1. 标准化圆的方程：对已知曲线方程进行配方，提取出圆心坐标和半径 $R$。
2. 选择最优路径：

• 方法一（几何意义法）：设目标代数式 $x-y=t$，变形为直线方程 $x-y-t=0$。此题即求当直线与圆有公共点时，纵截面平移带来的最大截距 $t$。利用圆心到直线的距离 $d\le R$ 建立不等式求解。
• 方法二（三角代换法）：利用圆的参数方程，将 $x,y$ 用包含 $\theta$ 的三角函数线性表示，代入 $x-y$ 后运用辅助角公式化为单一三角函数求最值。
• 方法三（代数判别式法）：消元转化成关于 $x$ 的一元二次方程，利用 $\Delta \ge 0$ 确定范围。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

对已知方程 $x^2+y^2-4x-2y-4=0$ 进行配方： $(x^2-4x+4)+(y^2-2y+1)-4-4-1=0$ $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=9$ 该方程表示以 $M(2,1)$ 为圆心，半径 $R=3$ 的圆。

解法一：平面解析几何法（最优解） 设目标式 $x-y=t$，可化为直线方程： $x-y-t=0$

由于点 $(x,y)$ 在圆上，直线与圆必须有公共点（相交或相切）。 因此，圆心 $M(2,1)$ 到该直线的距离 $d$ 必须小于或等于圆的半径 $R=3$。 根据点到直线的距离公式： $d=\frac{|2-1-t|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|1-t|}{\sqrt{2}}\le 3$

去绝对值展开不等式： $|1-t|\le 3\sqrt{2}$ $-3\sqrt{2}\le t-1\le 3\sqrt{2}$ $1-3\sqrt{2}\le t\le 1+3\sqrt{2}$

所以， $t=x-y$ 的最大值为 $1+3\sqrt{2}$。

故选：C。

解法二：圆的参数方程法（三角代换） 由圆的标准方程 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=3^2$ 可设其参数方程为（ $\theta$ 为参数）： $\{\begin{array}{l}x=2+3\cos \theta \\ y=1+3\sin \theta \end{array}$

代入目标代数式 $x-y$ 得： $x-y=(2+3\cos \theta )-(1+3\sin \theta )=1+3(\cos \theta -\sin \theta )$

利用辅助角公式进行逆向化简： $\cos \theta -\sin \theta =\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \theta -\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \theta \right)=\sqrt{2}\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$

代入原式： $x-y=1+3\sqrt{2}\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$

因为 $\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\le 1$， 所以当 $\theta +\frac{\pi }{4}=2k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 时， $x-y$ 取得最大值： $(x-y{)}_{\max }=1+3\sqrt{2}\times 1=1+3\sqrt{2}$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的标准方程、点到直线的距离公式、辅助角公式最值应用。
2. 核心方法：数形结合思想。将纯代数式的最大值问题转化为几何中“动直线移动时截距的变化范围”问题，利用圆心到直线的临界几何条件 $d\le R$ 快速破题。
3. 避坑指南：

• 配方符号失误：在对 $-4x,-2y$ 分别配方时，常数项项移项负号易错算为 $4-4-1=-1$。
• 距离公式分母遗漏：点到直线分母为 $\sqrt{A^2+B^2}$，本题为 $\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$，计算时不能漏掉根号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》的章末综合压轴题。这类“二次约束条件求线性目标函数最值”的结构是高考对解析几何思维考查的经典模版。
2. 结论推广：

• 圆的线性最值通用公式：已知实数 $x,y$ 满足圆的一般方程 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$。求线性代数式 $Ax+By$ 的最大值与最小值。
• 设 $Ax+By=t$，通过点线距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0-t|}{\sqrt{A^2+B^2}}\le R$ 可推导得出通用极值范围公式： $t=A{x}_0+B{y}_0\pm R\sqrt{A^2+B^2}$
• 本题中 $x_0=2,y_0=1,R=3$，目标式系数 $A=1,B=-1$。直接代入推广公式最大值端：$t_{\max }=1\times 2+(-1)\times 1+3\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=1+3\sqrt{2}$。使用该推广结论，可在考场上直接免去全部作图与推导过程，实现快速求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2002-新课标理-01 单-圆的参数方程
• 2006-江西卷理-16 填-三角函数的值域
• 2007-安徽卷理-07 单-点到直线距离公式