2007-安徽卷理-07 单-点到直线距离公式

本题导读

本题考查线性规划可行域与圆的位置关系最值问题。核心在于运用数形结合法，将点 $P$ 与圆上动点 $Q$ 的距离最小值转化为圆心到可行域边界直线距离减去半径的形式。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(理)） 如果点 $P$ 在平面区域 $\{\begin{array}{l}2x-y+2\ge 0\\ x-2y+1\le 0\\ x+y-2\le 0\end{array}$ 上，点 $Q$ 在曲线 $x^2+(y+2{)}^2=1$ 上，那么 $|PQ|$ 的最小值为()

A. $\sqrt{5}-1$　　　　B. $\frac{4}{\sqrt{5}}-1$　　　　C. $2\sqrt{2}-1$　　　　D. $\sqrt{2}-1$

🔍【思路分析】

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1. 确定区域与曲线几何特征：

• 曲线 $x^2+(y+2{)}^2=1$ 是一个以 $C(0,-2)$ 为圆心，半径 $R=1$ 的圆。
• 作出不等式组表示的平面可行域，通常为一个封闭的三角形区域。

2. 分析最值几何转化：

• 动点 $P$ 在区域内，动点 $Q$ 在圆上。两动点距离的极小值满足 $|PQ{|}_{\text{min}}=|PC{|}_{\text{min}}-R$，即转化为求圆心 $C$ 到可行域内所有点的距离最小值。

3. 求解圆心到可行域的垂线段长：

• 在图象中观察圆心 $C(0,-2)$ 到哪条边界直线的垂足落在边界线段上，利用点到直线距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 计算。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：首先分析动点 $Q$ 所在的曲线， 方程 $x^2+(y+2{)}^2=1$ 表示以 $C(0,-2)$ 为圆心， 半径 $R=1$ 的圆。

在直角坐标系中绘制出点 $P$ 所在的不等式组可行域区域。三条边界直线分别为：

• $l_1:2x-y+2=0$

• $l_2:x-2y+1=0$

• $l_3:x+y-2=0$

根据几何性质， 区域内的点 $P$ 到圆上点 $Q$ 的距离最小值， 满足： $|PQ{|}_{\text{min}}=d(C,\text{区域}{)}_{\text{min}}-R$ 即圆心 $C$ 到可行域边界的最短距离减去圆的半径 1。

先考察圆心 $C(0,-2)$ 到各边界直线的垂线段， 但必须验证垂足是否落在可行域的边界线段上： 到直线 $l_1:2x-y+2=0$ 的距离虽为 $\frac{4}{\sqrt{5}}$， 但其垂足坐标可通过联立求得为 $\left(-\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right)$， 该点不满足可行域的另两条约束（落在区域外）， 故不能取此垂线段长。 因此圆心到区域的最短距离应取圆心到可行域顶点（区域边界的端点）的距离中的最小值。 可行域的三个顶点为 $(-1,0),(1,1),(0,2)$， 计算圆心到它们的距离： $|C(-1,0)|=\sqrt{(-1-0{)}^2+(0+2{)}^2}=\sqrt{5},|C(1,1)|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10},|C(0,2)|=4$ 其中最小者为 $\sqrt{5}$， 即 $d(C,\text{区域}{)}_{\text{min}}=\sqrt{5}>1$（半径）， 故最近点正是顶点 $(-1,0)$。

代回最值转换公式， 扣除圆的半径： $|PQ{|}_{\text{min}}=\sqrt{5}-1$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面可行域与圆位置关系的定性定界、圆上动点距离向圆心距离的最值恒等转化。
2. 核心方法：数形结合图解法、垂线段最短定理。
3. 避坑指南：

• 极其容易在算出垂线段长度 $\frac{4}{\sqrt{5}}$ 后，粗心大意忘记减去圆的半径 $R=1$，从而误选成未减半径的中间代数分量。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二元一次不等式组与线性规划可行域、圆的方程与几何性质是安徽卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是二元一次不等式组与线性规划可行域、圆的方程与几何性质的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用数形结合法、几何最值转化法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2010-湖北卷理-09 单-直线与半圆的
• 2023-乙卷文-11 单-圆的参数方程
• 2008-北京卷文-06 单-线性规划最小值