2023-北京卷-08 单-充要条件

本题导读

本题考查充分条件、必要条件与充要条件，以及代数式的恒等变形（完全平方公式。

📌【题干】

Question

（2023年北京卷）若 $xy\ne 0$，则“$x+y=0$”是“$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=-2$”的（　　）

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

分析目标：判断两个代数命题之间的充分与必要关系。

求解步骤：

• 解法一（等价转化法）：最直接的方法。由 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$ 通过去分母、移项化简，直接推导出它与 $x+y=0$ 是等价的。

• 解法二（定义法1）：证明充分性时，由 $x+y=0$ 得到 $x=-y$，直接代入分式求值；证明必要性时，由分式等式去分母构造完全平方公式。

• 解法三（定义法2）：利用恒等变形（通分配凑完全平方公式），证明无论是由条件推结论，还是由结论推条件，都能通过 $\frac{(x+y{)}^2}{xy}$ 这一桥梁建立联系。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解法一（等价转化法）：

因为 $xy\ne 0$，且有等式 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$。

等式两边同乘 $xy$，得：

$x^2+y^2=-2xy$

移项整理得：

$x^2+y^2+2xy=0$

即：

$(x+y{)}^2=0$

解得 $x+y=0$。

此变形过程步步可逆，所以“$x+y=0$”是“$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$”的充要条件。

解法二（定义法 - 代入与去分母）：

• 充分性：因为 $xy\ne 0$，且 $x+y=0$，所以 $x=-y\ne 0$。

  将 $x=-y$ 代入后式得：

  $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{-y}{y}+\frac{y}{-y}=-1-1=-2$

  所以充分性成立；

• 必要性：因为 $xy\ne 0$，且 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$。

  等式两边同乘 $xy$，去分母得 $x^2+y^2=-2xy$。

  移项得 $x^2+y^2+2xy=0$，即 $(x+y{)}^2=0$。

  所以 $x+y=0$，必要性成立。

  综上所述，“$x+y=0$”是“$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$”的充要条件。

解法三（定义法 - 恒等变形配凑）：

• 充分性：因为 $xy\ne 0$，且 $x+y=0$，则：

  $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x^2+y^2+2xy-2xy}{xy}=\frac{(x+y{)}^2-2xy}{xy}$

  将 $x+y=0$ 代入分子得：

  $\frac{0-2xy}{xy}=-2$

  所以充分性成立；

• 必要性：因为 $xy\ne 0$，且 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$，则：

  $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{(x+y{)}^2-2xy}{xy}=\frac{(x+y{)}^2}{xy}-2=-2$

  化简得 $\frac{(x+y{)}^2}{xy}=0$。

  由于分母 $xy\ne 0$，所以分子必须为零，即 $(x+y{)}^2=0$。

  所以 $x+y=0$，必要性成立。

  综上所述，“$x+y=0$”是“$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$”的充要条件。

故选：C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充要条件三种定义判别法（定义法、等价转化法、集合法）、完全平方公式的逆向构造、分式通分运算法则。
2. 核心方法：同解变形直接法（解法一）、保真双向验证法（解法二）。
3. 避坑指南：

• 忽视隐含的非零约束：进行分式去分母变形（如 $\frac{x^2+y^2}{xy}=-2⟹x^2+y^2=-2xy$）时，必须严格依托“$xy\ne 0$”这一安全带。若题目未声明 $xy\ne 0$，则去分母过程中可能引入增根，从而导致等价性破裂。高考解大题时务必写明这一范围。
• 混淆充分与必要方向：牢记口诀“前推后，充分；后推前，必要”。若考场上时间充裕，推荐使用解法二进行双向分离论证，可有效避免因单向思维定势导致的逻辑混乱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于常用逻辑用语板块的经典基础考题。其改编的灵感母题源自初中数学中关于“分式方程变形”与高中“命题推出关系”的跨学段缝合。命题意图在于考查学生对基础代数式变形的稳健度以及充要条件底层概念的理解。
2. 结论推广： 在代数对称式的性质探究中，形如 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=k$ （$xy\ne 0$）的结构是一类非常重要的几何模型。通分后利用完全平方公式配凑可得： $\frac{(x+y{)}^2-2xy}{xy}=k⟹\frac{(x+y{)}^2}{xy}=k+2$

• 当 $k=-2$ 时， $\frac{(x+y{)}^2}{xy}=0⟹x+y=0$（即本题模型）；
• 当 $k=2$ 时， $\frac{(x-y{)}^2}{xy}=0⟹x-y=0⟹x=y$。 通过该推广模型，可以发现分式对称和的形式受制于积与完全平方的代数纽带，掌握此规律可极大提升面对高阶分式方程变形时的解析速度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-06 单-充分必要条件的传递
• 2002-上海卷理-12 填-反函数的定义与性质