2023-北京卷-12 填-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质，以及双曲线的离心率。

📌【题干】

Question

（2023年北京卷）已知双曲线 $C$ 的焦点为 $(-2,0)$ 和 $(2,0)$，离心率为 $\sqrt{2}$，则 $C$ 的方程为 ____________．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定位置与中心：由焦点坐标 $(-2,0)$ 和 $(2,0)$ 可知，双曲线中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，半焦距 $c=2$。

2. 利用离心率求 $a$：根据 $e=\frac{c}{a}$ 及 $e=\sqrt{2}$，求出实半轴长 $a$。

3. 求 $b$ 并写方程：利用双曲线中 $c^2=a^2+b^2$ 的关系求出 $b^2$，进而写出标准方程。

✅【答案】

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$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$

✍【详细解析】

Abstract

设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$)。

1. 确定参数 $c$：

   因为焦点为 $F_1(-2,0),F_2(2,0)$，

   所以焦点在 $x$ 轴上，且 $c=2$。

2. 确定参数 $a$：

   因为离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，

   所以 $a=\frac{c}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

   从而 $a^2=2$。

3. 确定参数 $b$：

   在双曲线中，$b^2=c^2-a^2$。

   所以 $b^2=2^2-(\sqrt{2}{)}^2=4-2=2$。

4. 得出结论：

   双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$。

故答案为：$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线两焦点中点确定中心与轴向的法则、离心率对实轴伸缩性的度量关系、双曲线基本参量勾股消元律。
2. 核心方法：待定系数法（设方程 $\to$ 解系数 $\to$ 代回形式）。
3. 避坑指南：

• 混淆双曲线与椭圆的参量平方关系：这是解析几何基础题中最容易发生翻车的地方。必须牢记，双曲线中 $c$ 最大，满足 $c^2=a^2+b^2$；而椭圆中 $a$ 最大，满足 $a^2=b^2+c^2$。公式若记混，求出的 $b^2$ 将发生负号或数值错位。
• 焦点轴向方程写反：在写出最终表达式时，由于焦点在 $x$ 轴上，正号项必须由 $x^2$ 携带。切勿粗心写成纵轴双曲线方程 $\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}=1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考填空题中常规、稳定的送分基础题，母题构型直接改编自人教A版教材《选择性必修第一册》第三章“双曲线的几何性质”开篇的基础概念计算题。命题立意非常直白，重在考查考生对双曲线基础代数特征的认读稳健度。
2. 结论推广： 本题中给出的离心率 $e=\sqrt{2}$ 蕴含着一个非常优美且极高频的经典二级几何模型——等轴双曲线（Equilateral Hyperbola）。

当且仅当双曲线的离心率 $e=\sqrt{2}$ 时，由 $\frac{c^2}{a^2}=2⟹\frac{a^2+b^2}{a^2}=2⟹1+\frac{b^2}{a^2}=2$，可直接推导出： $a=b$

实半轴与虚半轴相等的双曲线即为等轴双曲线。其标准方程恒表现为 $x^2-y^2=a^2$ 的简易齐次形式。同时，这类双曲线的渐近线方程固定为 $y=\pm x$，即两条渐近线始终保持互相垂直（夹角为 $90^{\circ }$）的刚性拓扑形态。在考场上熟记“$e=\sqrt{2}⟺a=b⟺\text{等轴双曲线}$”这一黄金连带等价链，可以省去大量的基础化简步骤，实现跨越式的读题快速求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-04 单-双曲线标准方程
• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率