2014-新课标I卷理-04 单-双曲线标准方程

本题导读

本题考查双曲线的标准方程化简及其几何性质。通过将一般方程化为标准方程，提取 $a,b,c$ 参数，计算焦点坐标与渐近线方程，并应用点到直线的距离公式求解。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 已知 $F$ 为双曲线 $C:x^2-m{y}^2=3m(m>0)$ 的一个焦点，则点 $F$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为 ()

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. $\sqrt{3m}$　　　　　　　D. $3m$

🔍【思路分析】

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1. 标准方程化简：将双曲线方程两边同时除以 $3m$，整理成 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的形式。
2. 提取参数：确定 $a^2,b^2$ 的值，并计算 $c=\sqrt{a^2+b^2}$ 以及渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
3. 计算距离：
   • 方法一：选取一个焦点 $F(c,0)$ 和一条渐近线，使用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 进行计算。
   • 方法二：直接利用双曲线几何结论——“焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 $b$”。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化为标准方程 将双曲线方程 $x^2-m{y}^2=3m$ 两边同时除以 $3m$ 得： $\frac{x^2}{3m}-\frac{y^2}{3}=1$ 由此可见，这是一个焦点在 $x$ 轴上的双曲线。

第二步：确定几何参数

• $a^2=3m,b^2=3$
• $c^2=a^2+b^2=3m+3⟹c=\sqrt{3m+3}$
• 渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3m}}x=\pm \frac{1}{\sqrt{m}}x$ 即 $x\pm \sqrt{m}y=0$。

第三步：求距离 选取焦点 $F(\sqrt{3m+3},0)$ 和渐近线 $x+\sqrt{m}y=0$。 点 $F$ 到渐近线的距离 $d$ 为： $d=\frac{|\sqrt{3m+3}+\sqrt{m}\cdot 0|}{\sqrt{1^2+(\sqrt{m}{)}^2}}=\frac{\sqrt{3m+3}}{\sqrt{1+m}}=\frac{\sqrt{3(m+1)}}{\sqrt{m+1}}=\sqrt{3}$

几何性质快速求解法： 在双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 中，焦点 $F(c,0)$ 到渐近线 $bx\pm ay=0$ 的距离： $d=\frac{|bc|}{\sqrt{b^2+a^2}}=\frac{bc}{c}=b$ 本题中 $b^2=3$，故 $d=b=\sqrt{3}$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的基本量 $a,b,c$ 及其相互关系 $c^2=a^2+b^2$。

2. 核心方法：熟记结论可以大幅提升速度。“焦点到渐近线的距离恒等于虚半轴长 $b$” 是解析几何中的高频结论。

3. 避坑指南：注意双曲线方程必须先化为标准形式（右侧为 1），否则 $a,b$ 的取值会出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 离心率 $e$ 的定义、双曲线的切线性质、等轴双曲线。

2. 结论推广: 若双曲线焦点在 $y$ 轴，该结论同样成立，即距离依然等于虚半轴长。

3. 方法推广: 涉及圆锥曲线的距离问题，通常优先考虑几何定义或性质简化代数运算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷文-10 填-双曲线标准方程
• 2014-江西卷文-09 单-双曲线方程
• 2013-陕西卷理-11 填-双曲线方程