2023-北京卷-18 解-概率综合

本题导读

本题考查频率与概率。核心在于数据分类统计法、多项分布组合计数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年北京卷）为研究某种农产品价格变化规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用 “$+$” 表示 “上涨”，即当天价格比前一天价格高；用 “$-$” 表示 “下跌”，即当天价格比前一天价格低；用 “$0$” 表示 “不变”，即当天价格与前一天价格相同．

时段	价格变化数据
第 1 天到第 20 天	$-,+,+,0,-,-,-,+,+,0,+,0,-,-,+,-,+,0,0,+$
第 21 天到第 40 天	$0,+,+,0,-,-,-,+,+,0,+,0,+,-,-,-,+,0,-,+$

用频率估计概率．

（1）试估计该农产品价格 “上涨” 的概率；

（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天 “上涨”、1 天 “下跌”、1 天 “不变” 的概率；

（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第 41 天该农产品价格 “上涨”“下跌” 和 “不变” 的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：直接清点表格中 “$+$” 的个数，除以总天数 $40$。

2. 第二问：先分别求出上涨、下跌、不变的频率。由于是独立重复试验，且取 $4$ 天观察特定组合，使用多项分布（或组合数分配法）计算：$C_4^2\cdot P(+{)}^2\cdot C_2^1\cdot P(-)\cdot P(0)$。

3. 第三问：第 $40$ 天的状态是 “$+$”。我们需要在第 $1$ 到 $39$ 天中找出所有状态为 “$+$” 的日子，观察它们的后一天分别是哪种状态，通过统计频率来判断第 $41$ 天最可能的走向。

✅【答案】

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(1) $\frac{2}{5}$

(2) $0.168$

(3) “不变”的概率最大

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：

根据表格数据统计，这 $40$ 天中价格 “上涨”（即符号为 “$+$”）的天数为：

第一行有 $7$ 个，第二行有 $9$ 个，共 $7+9=16$ 个。

所以，该农产品价格 “上涨” 的概率估计值为：

$P(+)=\frac{16}{40}=0.4$。

（2）解：

统计 $40$ 天中的所有状态：

• “上涨”（$+$）的天数为 $16$，概率 $P_1=0.4$；

• “下跌”（$-$）的天数为 $14$，概率 $P_2=\frac{14}{40}=0.35$；

• “不变”（$0$）的天数为 $10$，概率 $P_3=\frac{10}{40}=0.25$。

  设 “在这 $4$ 天中 $2$ 天上涨、$1$ 天下跌、$1$ 天不变” 为事件 $A$。

  由独立性假设可知：

  $P(A)=C_4^2\cdot P_1^2\cdot C_2^1\cdot P_2^1\cdot P_3^1$

  $P(A)=6\cdot (0.4{)}^2\cdot 2\cdot 0.35\cdot 0.25$

  $P(A)=12\cdot 0.16\cdot 0.0875=0.168$。

  故该概率的估计值为 $0.168$。

（3）解：

由表格可知，第 $40$ 天的价格变化为 “$+$”。

我们要预测第 $41$ 天，需观察前 $39$ 天中，当某天为 “$+$” 时，其后一天的变化情况：

在第 $1$ 天到第 $39$ 天中，共有 $15$ 个 “$+$”（不计第 $40$ 天，因为它后面没有已知数据）：

• 其后一天为 “$+$” 的次数：$4$ 次（第 $3,9,23,29$ 天）；

• 其后一天为 “$0$” 的次数：$9$ 次（第 $4,10,12,18,21,24,30,32,38$ 天）；

• 其后一天为 “$-$” 的次数：$2$ 次（第 $16,34$ 天）。

  比较可知，价格上涨后，第二天 “不变” 的频率最高。

  因此，估计第 $41$ 天该农产品价格 “不变” 的概率估计值最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型下频数向频率的转化、多项互斥事件的独立重复试验组合计数、基于前项状态限制的条件频率统计。
2. 核心方法：多项式概率乘法原理、条件状态分类点数法。
3. 避坑指南：

• 第（2）问公式套错或漏掉排列数：部分考生习惯了二项分布，在处理三种结果时容易漏掉系数 $C_4^2\cdot C_2^1=12$。必须明确 4 天中哪两天上涨、哪一天下跌存在顺序的选择。
• 第（3）问清点样本时多算第 40 天：在统计前序为 “+” 且观察其后序状态时，第 40 天的 “+” 后面没有第 41 天的已知数据，因此无法作为有效的条件转移样本。有效基数应为 15，而非 16。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题立意新颖，第（3）问蕴含着高等数学及随机过程中的**“一阶马尔可夫链（First-order Markov Chain）”**平稳转移背景。在马尔可夫过程中，未来的状态只取决于当前的状态，而与过去的状态无关。命题通过价格变动的初等统计，考查学生建立条件转移矩阵的潜质。
2. 结论推广: 对于任意具有 $N$ 种互斥状态的一阶马尔可夫链系统，设当前第 $t$ 步的状态为 $S_i$。若要预测第 $t+1$ 步哪种状态出现的概率最大，只需在历史样本中截取满足第 $k$ 步为 $S_i$ 的所有样本子集（设样本量为 $M$）。统计该子集中第 $k+1$ 步各状态的条件频数 $m_1,m_2,\dots ,m_N$。 则转移概率的极大似然估计满足： $P(S_{t+1}=S_j\mid S_t=S_i)=\frac{m_j}{M}$ 只需找出 $\max \{m_1,m_2,\dots ,m_N\}$ 所对应的状态，即可做出最稳健的统计学决策。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2007-山东卷理-18 解-条件概率
• 2008-大纲卷I文-20 解-化验方案概率
• 2013-湖南卷理-18 解-排列组合的应用