2013-湖南卷理-18 解-排列组合的应用

本题导读

本题考查排列组合的应用。核心在于枚举归纳法、列表模拟法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(理)） 某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该作物的年收获量 $Y$（单位：kg）与它的“相近”作物株数 $X$ 之间的关系如下表所示：

$X$	1	2	3	4
$Y$	51	48	45	42

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米.

(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；

(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 格点普查：
   • 在直角边为 4 的等腰直角三角形中，格点坐标 $(x,y)$ 需满足 $x+y\le 4$，$x,y\in \{0,1,2,3,4\}$。
   • 总株数：第一行 5 株，第二行 4 株… 总计 $5+4+3+2+1=15$ 株。
   • 内部点：满足 $x>0,y>0,x+y<4$ 的点。即 $(1,1),(1,2),(2,1)$ 共 3 株。
   • 边界点：总数 - 内部点 = $15-3=12$ 株。
2. 第一问（条件概率/计数）：
   • 分别从内部（3株）和边界（12株）选1株，总结果数 $3\times 12=36$。
   • 寻找“相近”对：直线距离 $\le 1$ 的格点即为相邻点（上下左右）。枚举内部点周围的边界点数量。
3. 第二问（分布列与期望）：
   • 统计每个格点的 $X$ 值（相邻格点数）。
   • 对应 $Y$ 值，计算各 $Y$ 值的出现频数。
   • 列表计算期望 $E(Y)=\sum Y_i{P}_i$。

✅【答案】

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故概率 $P=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 格点总数 $N=15$。内部点集合 $M_{内}=\{(1,1),(1,2),(2,1)\}$，共 3 株。边界点共 12 株。 从内部和边界各取一株，总基本事件数 $n=3\times 12=36$。

寻找相近对（距离 $\le 1$）：

• 内部点 $(1,1)$ 的相近边界点有 $(1,0),(0,1)$，共 2 个；
• 内部点 $(1,2)$ 的相近边界点有 $(0,2),(1,3),(2,2)$，共 3 个；
• 内部点 $(2,1)$ 的相近边界点有 $(2,0),(3,1),(2,2)$，共 3 个。 （注意 $(1,1)$ 与 $(1,2)$ 是内部点之间的相近，不符合“一内一外”的要求）。 相近对总数 $m=2+3+3=8$。 故概率 $P=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$。

（Ⅱ）解： 对 15 株作物的“相近”株数 $X$ 进行分类统计：

• $X=1$：顶点 $(0,0),(4,0),(0,4)$ 中，$(0,0)$ 有 2 个相近点，$(4,0),(0,4)$ 只有 1 个相近点。故 $X=1$ 的格点有 2 个。
• $X=2$：观察边界点 $(1,0),(2,0),(3,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(2,2),(3,1)$ 以及 $(0,0)$。
  • $X=2$ 的点：$(0,0),(1,3),(3,1),(2,2)$ 共有 4 个。
• $X=3$：边界上的非顶点点 $(1,0),(2,0),(3,0),(0,1),(0,2),(0,3)$。
  • $X=3$ 的点：$(1,0),(2,0),(3,0),(0,1),(0,2),(0,3)$ 共有 6 个。
• $X=4$：内部点。
  • $X=4$ 的点：$(1,1),(1,2),(2,1)$ 共有 3 个。

各收获量 $Y$ 的概率： $P(Y=51)=P(X=1)=\frac{2}{15}$ $P(Y=48)=P(X=2)=\frac{4}{15}$ $P(Y=45)=P(X=3)=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$ $P(Y=42)=P(X=4)=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$

分布列如下：

$Y$	51	48	45	42
$P$	$\frac{2}{15}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{5}$

数学期望： $E(Y)=51\times \frac{2}{15}+48\times \frac{4}{15}+45\times \frac{2}{5}+42\times \frac{1}{5}$ $E(Y)=\frac{102+192}{15}+18+8.4=19.6+18+8.4=46$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：离散型随机变量分布列的建立与期望计算。

核心方法：“穷举法与分类统计”。本题难点不在于公式，而在于对图中 15 个点每一个点的“相近数 $X$”能否数对。

避坑指南：- 内部点与边界点的划分要严密。 - “相近”不包括点自身。 - $(0,0)$ 这种直角顶点容易被误认为和斜边点 $(2,2)$ 相近，但距离是 $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}>1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：离散型随机变量分布列的建立与期望计算。

结论推广：期望体现了平均产量。此题反映了种植密度对单株产量的负影响。

方法推广：类似的格点搜索在计算机图形学（最近邻搜索）和地理信息系统中有广泛应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2026-新高考II卷-06 单-排列组合
• 2025-上海卷-09 填-排列
• 2015-上海卷文-10 填-组合数