2023-北京卷-20 解-导数综合

本题导读

本题考查切线方程。核心在于待定系数法（参数求解）、导数单调性列表分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年北京卷）设函数 $f(x)=x-x^3{e}^{ax+b}$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $y=-x+1$．

（1）求 $a,b$ 的值；

（2）设函数 $g(x)=f^{\prime }(x)$，求 $g(x)$ 的单调区间；

（3）求 $f(x)$ 的极值点个数．

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用切点在曲线上且在切线上得到 $f(1)=0$，再利用切线斜率等于导数值得到 $f^{\prime }(1)=-1$，建立方程组解出 $a,b$。

2. 第二问：对 $g(x)$ 求导得到 $g^{\prime }(x)$，通过解 $g^{\prime }(x)=0$ 找到临界点 $x=0$ 和 $x=3\pm \sqrt{3}$，利用“穿根法”或列表分析 $g^{\prime }(x)$ 的正负，得出 $g(x)$ 的单调区间。

3. 第三问：$f(x)$ 的极值点即为 $f^{\prime }(x)=0$ 且符号发生改变的点。结合第二问中 $g(x)$（即 $f^{\prime }(x)$）的单调性，利用零点存在定理在各个单调区间内寻找 $g(x)$ 的零点个数。

✅【答案】

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(1) $a=-1$，$b=1$

(2) $g(x)$ 的单调增区间为 $(0,3-\sqrt{3})$ 和 $(3+\sqrt{3},+\infty )$，单调减区间为 $(3-\sqrt{3},3+\sqrt{3})$

(3) $f(x)$ 共有 $3$ 个极值点

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：

由 $f(x)=x-x^3{e}^{ax+b}$，得 $f^{\prime }(x)=1-(3x^2+a{x}^3)e^{ax+b}$。

因为曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $y=-x+1$，

所以 $f(1)=-1+1=0$，且 $f^{\prime }(1)=-1$。

代入解析式得：

$\{\begin{array}{l}1-1^3\cdot e^{a+b}=0\\ 1-(3\cdot 1^2+a\cdot 1^3)e^{a+b}=-1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{e}^{a+b}=1\\ 1-(3+a)\cdot 1=-1\end{array}$

由 $e^{a+b}=1$ 得 $a+b=0$。

由 $1-(3+a)=-1$ 得 $3+a=2$，即 $a=-1$。

代入 $a+b=0$ 得 $b=1$。

所以 $a=-1,b=1$。

（2）解：

由（1）知 $f(x)=x-x^3{e}^{-x+1}$，则 $g(x)=f^{\prime }(x)=1-(3x^2-x^3)e^{-x+1}$。

求 $g(x)$ 的导数：

$g^{\prime }(x)=-\left[(6x-3x^2)e^{-x+1}+(3x^2-x^3)e^{-x+1}(-1)\right]$

$g^{\prime }(x)=-(6x-3x^2-3x^2+x^3)e^{-x+1}=-(x^3-6x^2+6x)e^{-x+1}=-x(x^2-6x+6)e^{-x+1}$。

令 $g^{\prime }(x)=0$，解得 $x_1=0,x_2=3-\sqrt{3},x_3=3+\sqrt{3}$。

注意 $0<3-\sqrt{3}<3+\sqrt{3}$。

各区间内 $g^{\prime }(x)$ 的符号如下：

• 当 $x\in (-\infty ,0)$ 时，$g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 单调递增；

• 当 $x\in (0,3-\sqrt{3})$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 单调递减；

• 当 $x\in (3-\sqrt{3},3+\sqrt{3})$ 时，$g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 单调递增；

• 当 $x\in (3+\sqrt{3},+\infty )$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 单调递减。

  结论：

  $g(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,0)$ 和 $(3-\sqrt{3},3+\sqrt{3})$；

  $g(x)$ 的单调递减区间为 $(0,3-\sqrt{3})$ 和 $(3+\sqrt{3},+\infty )$。

（3）解：

$f(x)$ 的极值点个数即为 $g(x)=f^{\prime }(x)=0$ 且变号的零点个数。

由（2）知 $g(x)$ 的单调性，我们分析其在各区间的取值：

① 在 $(-\infty ,0]$ 上，$g(x)$ 递增。$g(0)=1>0$，取 $x=-1$，$g(-1)=1-(3+1)e^2=1-4e^2<0$。

根据零点存在定理，$g(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上有且仅有一个零点。

② 在 $[0,3-\sqrt{3}]$ 上，$g(x)$ 递减。$g(0)=1>0$。

由于 $1\in (0,3-\sqrt{3})$（因为 $1<3-1.732$），计算 $g(1)=1-(3-1)e^0=1-2=-1<0$。

故 $g(x)$ 在 $(0,3-\sqrt{3})$ 上有且仅有一个零点。

③ 在 $[3-\sqrt{3},3+\sqrt{3}]$ 上，$g(x)$ 递增。$g(3-\sqrt{3})<g(1)=-1<0$。

计算 $g(3)=1-(3\cdot 3^2-3^3)e^{-3+1}=1-0=1>0$。

因为 $3<3+\sqrt{3}$，故 $g(x)$ 在 $(3-\sqrt{3},3+\sqrt{3})$ 上有且仅有一个零点。

④ 在 $[3+\sqrt{3},+\infty )$ 上，$g(x)$ 递减。

当 $x>3$ 时，$3x^2-x^3=x^2(3-x)<0$。

此时 $g(x)=1-(3x^2-x^3)e^{-x+1}=1+|3x^2-x^3|e^{-x+1}>1$。

故 $g(x)$ 在 $[3+\sqrt{3},+\infty )$ 上没有零点。

综上所述，$g(x)$（即 $f^{\prime }(x)$）共有 3 个零点。

由于 $g(x)$ 在这三个零点附近均保持单调，说明 $f^{\prime }(x)$ 在这三个点处均发生了符号改变。

因此，$f(x)$ 共有 3 个极值点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：高阶导数符号链在低阶函数行为中的传递性、基于指数有界性的多项式正负符号讨论、超越方程零点存在性的特定自变量区间嵌套。
2. 核心方法：二阶导数微观轨迹描绘法、特殊值局部夹逼法。
3. 避坑指南：

• 求导出现计算笔误：在对 $g(x)$ 求导时，注意括号前的负号、积的求导法则与复合函数复合层负号（${\text{e}}^{-x+1}$ 求导产生 $-1$）的叠加，防止因多项式变号错误导致后续临界点解错。
• 混淆“零点个数”与“极值点个数”：部分低端变号零点或二重根点（不改变一阶导数符号）不能算作极值点。本题在第（3）问中强调“在其附近保持单调”从而确证其必然变号，属于逻辑论证上的严谨得分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题为典型的导数压轴解答题。其高等数学背景基于超越方程的微分拓扑理论与局域动力学轨线的定性分析。命题摒弃了过去对参数进行繁复分类讨论的陈旧套路，转而对确定系数的非线性复合函数施加高阶微分，考查通过一阶导函数的精细几何轮廓（极大、极小值）来断定其零点相交边界的能力。
2. 结论推广: 对于形如 $f(x)=x-x^3{\text{e}}^{-x+k}(k\in \mathbb{R})$ 的通用模型函数，其一阶导数的高阶拐点与极值切换点由代数方程 $x(x^2-6x+6)=0$ 的根刚性决定，其临界分布表现为与参数 $k$ 无关的固定空间节点。 通过平移参数 $k$ 的大小，可以对 $g(x)$ 的图像整体进行纵向或轴向平移。可以证明存在临界状态值 $k_0$，当 $k<k_0$ 时，函数由于指数项过早衰减导致零点数发生退化。该推广模型为研究含有多幂次项复合指数函数的全局性状相变提供了完备的基准框架。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-21 解-导数切线与单调性
• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2008-江苏卷-08 填-切线求参数