2023-天津卷-11 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项展开式的通项公式，以及特定项的系数。

📌【题干】

Question

（2023年天津卷）在 ${\left(2x^3-\frac{1}{x}\right)}^6$ 的展开式中，$x^2$ 的系数为 ______．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式： 根据二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，将本题中的 $a=2x^3,b=-x^{-1},n=6$ 代入。

2. 化简指数： 将 $x$ 的所有幂次合并，整理出含 $r$ 的指数表达式。

3. 确定 $r$ 的值： 令 $x$ 的指数等于题目要求的 2，求出 $r$。

4. 计算系数： 将求出的 $r$ 代入系数部分进行数值计算。

✅【答案】

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$60$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出二项展开式的通项公式

对于 $(2x^3-\frac{1}{x}{)}^6$，其通项公式为：

$T_{r+1}=C_6^r\cdot (2x^3{)}^{6-r}\cdot {\left(-\frac{1}{x}\right)}^r$

第二步：整理通项公式

T_{r+1} = C_6^r \cdot 2^{6-r} \cdot (x^3)^{6-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{-r}$$$$T_{r+1} = C_6^r \cdot 2^{6-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{18-3r} \cdot x^{-r}$$$$T_{r+1} = C_6^r \cdot 2^{6-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{18-4r}

第三步：根据特定项确定 $r$

题目要求 $x^2$ 项的系数，令 $x$ 的指数为 2：

18 - 4r = 2$$$$4r = 16 \implies r = 4

第四步：计算系数

将 $r=4$ 代入系数部分：

$\text{系数}=C_6^4\cdot 2^{6-4}\cdot (-1{)}^4$

由于 $C_6^4=C_6^2=\frac{6\times 5}{2\times 1}=15$：

$\text{系数}=15\times 2^2\times 1=15\times 4=60$

故答案为：60。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开通项中第 $r+1$ 项的代数结构特征、组合数高精度数值计算。
2. 核心方法：多项式指数方程消元法。
3. 避坑指南：

• 负号提取发生疏漏（高频陷阱）：在处理 ${\left(-\frac{1}{x}\right)}^r$ 时，务必将负号单独隔离写成 $(-1{)}^r$。部分考生容易遗漏该项或在处理奇偶幂次时算错符号。本题中由于 $r=4$ 为偶数，负号最终消除；若是奇数则必须在系数前加负号。
• 混淆“二项式系数”与“项的系数”：必须明确，二项式系数仅仅指组合数 $C_n^r$（本题中为 15）；而“项的系数”是指除 $x$ 外前面所有的常数因子的乘积总和（本题中为 60）。看清题目设问，避免答非所问。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于高考计数原理章节最常规的填空题。母题模型直接来源于人教A版教材《选择性必修第三册》第六章“二项式定理的应用”的课后课时作业。命题立意在于测试考生对基本功公式认读与幂次化简运算的纯熟度。
2. 结论推广： 对于更为普适的二项式展开式 ${\left(A{x}^{\alpha }+B{x}^{\beta }\right)}^n$，其第 $r+1$ 项通项公式的指数一般化构型满足线性函数关系： $g(r)=\alpha (n-r)+\beta r=\alpha n+(\beta -\alpha )r$ 若要寻找特定项 $x^m$ 的系数，项序数 $r$ 满足核心方程： $r=\frac{m-\alpha n}{\beta -\alpha }$ 在本题中， $A=2,\alpha =3,B=-1,\beta =-1,n=6,m=2$，直接套用推广公式： $r=\frac{2-3\times 6}{-1-3}=\frac{-16}{-4}=4$ 内化此指数控制模型，在面对任何高次或分式型二项式特定项系数的题型时，均可免去通项公式的重复书写，直接定出 $r$ 值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 1997-全国卷理-16 填-二项式展开式的系数
• 1998-全国卷理-17