2015-天津卷理-12 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理中特定项系数的求解。核心在于熟练运用通项公式 $T_{r+1}$，通过指数幂的运算确定 $r$ 的值，并准确计算组合数与常数系数的乘积。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(理)） 在 $(x-\frac{1}{4x}{)}^6$ 的展开式中，$x^2$ 的系数为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出通项公式：对于二项式 $(a+b{)}^n$，通项为 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 代入具体参数：本题中 $a=x$，$b=-\frac{1}{4x}=-\frac{1}{4}{x}^{-1}$，$n=6$。
3. 整理指数项：将 $x$ 的所有指数合并，化为 $x^{f(r)}$ 的形式。
4. 求解 $r$：令 $f(r)=2$（题目要求 $x^2$ 的系数），求出对应的整数 $r$。
5. 计算系数值：将 $r$ 代入系数部分（组合数与常数底数的乘积）进行计算。

✅【答案】

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$\frac{15}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出通项并整理 $(x-\frac{1}{4x}{)}^6$ 展开式的通项为： $T_{r+1}=C_6^r\cdot x^{6-r}\cdot (-\frac{1}{4x}{)}^r$ $T_{r+1}=C_6^r\cdot x^{6-r}\cdot (-\frac{1}{4}{)}^r\cdot x^{-r}$ $T_{r+1}=C_6^r\cdot (-\frac{1}{4}{)}^r\cdot x^{6-2r}$

第二步：确定 $r$ 的值 令 $x$ 的指数等于 2： $6-2r=2⟹2r=4⟹r=2$

第三步：计算系数 将 $r=2$ 代入系数部分： $\text{系数}=C_6^2\cdot (-\frac{1}{4}{)}^2$ $C_6^2=\frac{6\times 5}{2\times 1}=15$ $(-\frac{1}{4}{)}^2=\frac{1}{16}$ $\text{系数}=15\times \frac{1}{16}=\frac{15}{16}$

答案：$\frac{15}{16}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项展开式通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的应用；指数幂运算性质。
• 核心技巧：先整理再求解。将 $x$ 项与常数系数彻底分离，可以有效避免在求解 $r$ 时产生的干扰。
• 避坑指南：
  1. 注意符号：$b=-\frac{1}{4x}$ 包含负号，本题中 $r=2$ 为偶数，负号消失；若 $r$ 为奇数则结果为负。
  2. 分数运算：注意 $(-\frac{1}{4}{)}^2$ 是对整个分数平方，分母变为 16。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若题目要求“二项式系数”，则答案仅为 $C_6^2=15$。注意“系数”与“二项式系数”的区别。

• 相关知识点：杨辉三角、二项式系数的和及性质。

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