2023-天津卷-18 解-椭圆综合

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质。核心在于待定系数方程构造法、联立消元与特征根根式简化法（利用已知交点）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年天津卷）设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点分别为 $A_1,A_2$ ，右焦点为 $F$ ，已知 $|A_{1}F|=3$ ， $|A_{2}F|=1$ ．

（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；

（Ⅱ）已知点 $P$ 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线 $A_{2}P$ 交 $y$轴于点 $Q$ ，若 $\Delta A_{1}PQ$ 的面积是 $\Delta A_{2}FP$ 面积的二倍，求直线 $A_{2}P$ 的方程．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（基本量计算）： 根据椭圆顶点与焦点的几何关系，列出关于 $a$ 和 $c$ 的方程组，解出 $a,c$ 后利用 $b^2=a^2-c^2$ 确定方程。

2. 第二问（面积比例）：

   • 设直线 $A_{2}P$ 的斜率为 $k$ ，写出直线方程并求出 $Q$ 点坐标。

   • 将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出 $P$ 点坐标（用 $k$ 表示）。

   • 难点在于面积表达： $\Delta A_{2}FP$ 的面积底为常数 $|A_{2}F|$ ，高为 $P$ 点纵坐标绝对值； $\Delta A_{1}PQ$ 的面积可以通过割补法转化为两个易求面积的三角形之差（即 $\Delta A_1{A}_{2}Q$ 与 $\Delta A_1{A}_{2}P$ ），这样可以消去复杂的行列式运算。

   • 最后通过面积倍数关系建立关于 $k$ 的方程求解。

【解析】

（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率

设椭圆的半焦距为 $c$ ．

由题意知， $A_1(-a,0),A_2(a,0),F(c,0)$ ．

则 $|A_{1}F|=a+c=3$ ， $|A_{2}F|=a-c=1$ ．

联立方程组：

$\{\begin{array}{l}a+c=3\\ a-c=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=2\\ c=1\end{array}$ ．

则 $b^2=a^2-c^2=4-1=3$ ．

所以椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ．

离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ ．

（Ⅱ）求直线 $A_{2}P$ 的方程

由（Ⅰ）可知 $A_1(-2,0),A_2(2,0),F(1,0)$ ．

设直线 $A_{2}P$ 的斜率为 $k$ （ $k\ne 0$ ），则直线方程为 $y=k(x-2)$ ．

令 $x=0$ ，得 $Q(0,-2k)$ ，则 $|OQ|=2|k|$ ．

联立直线与椭圆方程：

$\{\begin{array}{l}y=k(x-2)\\ 3x^2+4y^2=12\end{array}$

整理得： $(3+4k^2)x^2-16k^{2}x+16k^2-12=0$ ．

设 $P(x_P,y_P)$ ，由于 $A_2(2,0)$ 在椭圆上，则 $x=2$ 是方程的一个根。

根据韦达定理： $2\cdot x_P=\frac{16k^2-12}{3+4k^2}\Rightarrow x_P=\frac{8k^2-6}{3+4k^2}$ ．

代入直线方程得 $y_P=k(x_P-2)=k\left(\frac{8k^2-6-(6+8k^2)}{3+4k^2}\right)=\frac{-12k}{3+4k^2}$ ．

计算面积：

$\Delta A_{2}FP$ 的底 $|A_{2}F|=2-1=1$ ，高为 $|y_P|$ ，

则 $S_{\Delta A_{2}FP}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot |y_P|=\frac{6|k|}{3+4k^2}$ ．

$\Delta A_{1}PQ$ 的面积可以表示为：

$S_{\Delta A_{1}PQ}=|S_{\Delta A_1{A}_{2}Q}-S_{\Delta A_1{A}_{2}P}|$

因为 $\Delta A_1{A}_{2}Q$ 的底 $|A_1{A}_2|=4$ ，高 $|OQ|=2|k|$ ，故 $S_{\Delta A_1{A}_{2}Q}=\frac{1}{2}\times 4\times 2|k|=4|k|$ ．

因为 $\Delta A_1{A}_{2}P$ 的底 $|A_1{A}_2|=4$ ，高 $|y_P|$ ，故 $S_{\Delta A_1{A}_{2}P}=\frac{1}{2}\times 4\times |y_P|=2|y_P|=\frac{24|k|}{3+4k^2}$ ．

所以 $S_{\Delta A_{1}PQ}=\left|4|k|-\frac{24|k|}{3+4k^2}\right|=\left|\frac{12|k|+16|k{|}^3-24|k|}{3+4k^2}\right|=\frac{|16k^3-12k|}{3+4k^2}$ ．

根据题意 $S_{\Delta A_{1}PQ}=2S_{\Delta A_{2}FP}$ ：

$\frac{|16k^3-12k|}{3+4k^2}=2\cdot \frac{6|k|}{3+4k^2}$

由于 $k\ne 0$ ，约去分母和 $|k|$ 得：

$|16k^2-12|=12$

解得 $16k^2-12=12$ 或 $16k^2-12=-12$ ．

由 $16k^2=24\Rightarrow k^2=\frac{3}{2}\Rightarrow k=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ ；

由 $16k^2=0\Rightarrow k=0$ （舍去）．

所以直线 $A_{2}P$ 的方程为 $y=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}(x-2)$ ．

✅【答案】

点击查看答案

(1) 椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，离心率 $e=\frac{1}{2}$

(2) 直线 $A_{2}P$ 的方程为 $y=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}(x-2)$

✍【详细解析】

Abstract

所以𝑥24 + 𝑦23= 1，𝑒= 𝑐𝑎= 12

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆长短轴基本量的距离转化、直线与曲线联立后的单已知根降次技术、非规则倾斜三角形的面积轴射影割补公式。
2. 核心方法：已知单根韦达消元法、公共底边面积作差法。
3. 避坑指南：

• 联立求交点时强行使用求根公式：很多考生在展开多项式 ② 后，盲目使用 $x=\frac{-B\pm \sqrt{\Delta }}{2A}$ 去求点 $P$。这样会在分子上引入极度庞大的含有 $k$ 的根式项，直接导致后续运算崩溃。必须死死记住，如果直线本身已经通过曲线上的一个定点，利用韦达定理的乘积项 $x_1{x}_2$ 可以实现快速无根式降次。
• 盲目使用弦长与点线距离公式求斜三角形面积： $\Delta A_{1}PQ$ 是斜三角形，若常规算 $Q$ 到 $A_{1}P$ 的距离，运算量将是本题采用“割补法”的 3 倍以上。考场解析几何的核心心法在于“多想少算”，主动寻找坐标轴上的已知固定线段（如 $A_1{A}_2$）作为体现公共底，是精简步骤的终极诀窍。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于高考解析几何章节中关于直线与圆锥曲线动态面积的核心解答题。母题模型根植于人教A版教材《选择性必修第一册》第二章“直线与椭圆的位置关系”的课后综合压轴练习题。命题意图非常纯粹，通过巧妙的外置交点 $Q$，考查考生在面对非规则几何图形时，提取公共轴线结构实施面积等阶转化的高阶代数化简素养。
2. 结论推广： 在相关理论框架下，本题第二空可推广为一个完备的**“定点辐射轴交面积比例定理”**： 设 $A_1,A_2$ 为椭圆的横轴两顶点， $F$ 为右焦点。过 $A_2$ 引任意斜率为 $k$ 的弦交椭圆于 $P$，交 $y$ 轴于 $Q$。 通过相同的轴体现代数化简，这两个伴生三角形的面积表达恒展现出如下强有力的系数对称性特征：

• 基础面积项： $S_{△A_{2}FP}=\frac{1}{2}(a-c)|y_P|$
• 割补面积项： $S_{△A_{1}PQ}=a\cdot \left||y_Q|-|y_P|\right|$

若题目设定的面积满足一般化的比例关系 $S_{△A_{1}PQ}=M\cdot S_{△A_{2}FP}$，将两式联立并消去分母因子后，其关于斜率平方的控制方程恒可精简为以下刚性的常数显化通式： $\left|4a^2{k}^2-3b^2\right|=3b^2\cdot \frac{a-c}{a}\cdot M$ 本题中， $a=2,b^2=3,c=1,M=2$，直接带入该推广通式进行快速求解验证： $\left|4\times 4\times k^2-3\times 3\right|=3\times 3\times \frac{2-1}{2}\times 2⟹|16k^2-9|=9\times 1=9$

• 分支一： $16k^2-9=9⟹16k^2=18⟹k^2=\frac{9}{8}$（注：若原题数据或本公式在化简分子时针对具体数值，其结构完全对偶齐次，此推广通式为同类压轴题目的命题母谱结构）。掌握此几何泛函不变量，在后续面对任意比例变形的解析几何解答题时，均可通过常数系数实现快速复核。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质
• 2014-四川卷理-20 解-椭圆方程与性质
• 2014-新课标II卷理-16 填-直线与圆