2014-四川卷理-20 解-椭圆方程与性质

本题导读

本题是解析几何综合大题。第一问通过几何性质确定椭圆方程；第二问考查动态直线下的几何证明（中点平分）与代数最值。重点在于如何高效地联立方程并利用参数 $m$ 表达复杂的几何比值。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的焦距为 $4$，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2) 设 $F$ 为椭圆 $C$ 的左焦点，$T$ 为直线 $x=-3$ 上任意一点，过 $F$ 作 $TF$ 的垂线交椭圆 $C$ 于点 $P,Q$.

(i) 证明：$OT$ 平分线段 $PQ$（其中 $O$ 为坐标原点）；

(ii) 当 $\frac{|TF|}{|PQ|}$ 最小时刻，求点 $T$ 的坐标.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：基本量求解
   • 焦距 $2c=4⟹c=2$。
   • 短轴端点 $(0,\pm b)$ 与长轴端点 $(a,0)$ 构成正三角形 $⟹a=\sqrt{3}b$。
   • 结合 $a^2=b^2+c^2$ 解出 $a,b$。
2. 第二问 (i)：中点证明
   • $F(-2,0)$。设 $T(-3,m)$，则 $k_{TF}=\frac{m-0}{-3-(-2)}=-m$。
   • 由于 $PQ\perp TF$，故直线 $PQ$ 斜率为 $1/m$（若 $m\ne 0$）。
   • 设 $PQ$ 方程并与椭圆联立，利用韦达定理求出中点 $M$ 的坐标，验证 $k_{OM}=k_{OT}$。
3. 第二问 (ii)：最值计算
   • 利用弦长公式表达 $|PQ|$，利用两点间距离表达 $|TF|$。
   • 构造关于参数 $m$ 的函数，利用基本不等式求解最小比值及对应的 $m$ 值。

✅【答案】

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第 (1) 小题：求标准方程；$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$；第 (2) 小题：(i) 证明 $OT$ 平分 $PQ$；第 (2) 小题：(ii) 求最值时的点 $T$

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：求标准方程 由题意，$2c=4⟹c=2$。 短轴端点 $B_1(0,b),B_2(0,-b)$ 到长轴端点 $A_1(a,0)$ 的距离相等。 构成正三角形意味着 $|B_1{B}_2|=|A_1{B}_1|⟹2b=\sqrt{a^2+b^2}⟹a^2=3b^2$。 由 $a^2=b^2+c^2$ 得：$3b^2=b^2+4⟹b^2=2,a^2=6$。 故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$。

第 (2) 小题：(i) 证明 $OT$ 平分 $PQ$ 椭圆方程化为 $x^2+3y^2=6$。左焦点 $F(-2,0)$。 设 $T(-3,m)$，则直线 $TF$ 的斜率为 $-m$。 故直线 $PQ$ 的斜率为 $k=1/m$。 设直线 $PQ$ 的方程为 $x=my-2$。 联立 $\{\begin{array}{l}x=my-2\\ x^2+3y^2=6\end{array}⟹(my-2{)}^2+3y^2=6⟹(m^2+3)y^2-4my-2=0$。 设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，中点 $M(x_0,y_0)$。 则 $y_0=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{2m}{m^2+3}$。 $x_0=m{y}_0-2=\frac{2m^2}{m^2+3}-2=\frac{-6}{m^2+3}$。 则 $k_{OM}=\frac{y_0}{x_0}=\frac{2m}{-6}=-\frac{m}{3}$。 又 $k_{OT}=\frac{m}{-3}=-\frac{m}{3}$。 因为 $k_{OM}=k_{OT}$ 且过原点，所以 $O,M,T$ 三点共线，即 $OT$ 平分线段 $PQ$。

第 (2) 小题：(ii) 求最值时的点 $T$

1. 计算 $|TF|$： $|TF|=\sqrt{(-3-(-2){)}^2+(m-0{)}^2}=\sqrt{1+m^2}$。
2. 计算 $|PQ|$： 由韦达定理 $y_1+y_2=\frac{4m}{m^2+3},y_1{y}_2=\frac{-2}{m^2+3}$。 $|y_1-y_2|=\sqrt{(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2}=\frac{\sqrt{16m^2+8(m^2+3)}}{m^2+3}=\frac{2\sqrt{6(m^2+1)}}{m^2+3}$。 $|PQ|=\sqrt{1+m^2}|y_1-y_2|=\frac{2\sqrt{6}(m^2+1)}{m^2+3}$。
3. 建立目标函数： $\frac{|TF|}{|PQ|}=\frac{\sqrt{m^2+1}}{\frac{2\sqrt{6}(m^2+1)}{m^2+3}}=\frac{m^2+3}{2\sqrt{6}\sqrt{m^2+1}}$。 令 $u=\sqrt{m^2+1}\ge 1$，则 $m^2+3=u^2+2$。 比值 $f(u)=\frac{u^2+2}{2\sqrt{6}u}=\frac{1}{2\sqrt{6}}(u+\frac{2}{u})$。 由基本不等式，$u+\frac{2}{u}\ge 2\sqrt{2}$，当且仅当 $u=\sqrt{2}$ 时取得最小值。 此时 $\sqrt{m^2+1}=\sqrt{2}⟹m=\pm 1$。 最小值为 $\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 此时点 $T$ 的坐标为 $(-3,1)$ 或 $(-3,-1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆基本量的求解与弦的中点、最值问题

2. 核心方法：联立方程用韦达定理求中点，换元后用基本不等式求最值

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 极点极线背景、圆锥曲线的通径、双曲线的类似性质。

2. 结论推广: 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，若直线过焦点且与 $TF$ 垂直，则 $OT$ 的斜率与 $TF$ 的斜率存在定值比例关系。

3. 方法推广: 涉及弦长与距离比值的最值问题，换元法（代数换元或三角换元）是最常用的降维手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 05.02 函数的四大性质
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-21 解-椭圆方程与性质
• 2013-湖北卷理-21 解-椭圆方程与性质
• 2013-浙江卷理-21 解-椭圆方程与性质