2023-新高考I卷-09 多-数字特征

本题导读

本题考查平均数与中位数，以及极差与标准差。

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）有一组样本数据 $x_1,x_2,\cdots ,x_6$，其中 $x_1$ 是最小值， $x_6$ 是最大值，则（ ）

A. $x_2,x_3,x_4,x_5$ 的平均数等于 $x_1,x_2,\cdots ,x_6$ 的平均数

B. $x_2,x_3,x_4,x_5$ 的中位数等于 $x_1,x_2,\cdots ,x_6$ 的中位数

C. $x_2,x_3,x_4,x_5$ 的标准差不小于 $x_1,x_2,\cdots ,x_6$ 的标准差

D. $x_2,x_3,x_4,x_5$ 的极差不大于 $x_1,x_2,\cdots ,x_6$ 的极差

🔍【思路分析】

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1. 设 $x_1⩽x_2⩽x_3⩽x_4⩽x_5⩽x_6$。
2. 平均数受极端值影响较大，可通过构造不对称的特例排除。
3. 中位数由中间位置的数据决定，对称剔除两端数据后中间位置不变。
4. 剔除极值会使数据分布相对集中，标准差通常减小。
5. 极差由最大值与最小值的差决定，剔除极值后极差不会增大。

✅【答案】

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BD

✍【详细解析】

Abstract

不妨设这组数据已按非递减顺序排列：$x_1⩽x_2⩽x_3⩽x_4⩽x_5⩽x_6$。

判断选项 A： 构造特例：$1,1,1,1,1,7$。 此时 $x_1=1,x_6=7$。 原 6 个数据的平均数为 $\frac{1\times 5+7}{6}=2$。 剔除 $x_1,x_6$ 后，剩余数据 $1,1,1,1$ 的平均数为 $1$。 因为 $1\ne 2$，故平均数不一定相等，A 错误。

判断选项 B： 原 6 个数据的中位数为中间两项的平均数，即 $\frac{x_3+x_4}{2}$。 剔除 $x_1,x_6$ 后，剩余 4 个数据 $x_2,x_3,x_4,x_5$ 的中位数仍为中间两项的平均数，即 $\frac{x_3+x_4}{2}$。 两者恒相等，故 B 正确。

判断选项 C： 标准差反映数据的离散程度。剔除最大值和最小值后，剩余数据向中心集中，离散程度减小，标准差应变小（当所有数据不全相等时）或不变（当所有数据相等时）。 选项称“不小于（即 $⩾$）”，与事实相悖，故 C 错误。

判断选项 D： 原数据的极差为 $R_6=x_6-x_1$。 新数据的极差为 $R_4=x_5-x_2$。 因为 $x_1⩽x_2⟹-x_2⩽-x_1$，且 $x_5⩽x_6$。 两式相加得：$x_5-x_2⩽x_6-x_1$，即 $R_4⩽R_6$。 新极差不大于原极差，故 D 正确。

故选：BD。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

6. 核心考点：平均数、中位数、标准差、极差的定义与统计学意义。
7. 核心方法：特值检验法（举反例排除法）、不等式性质推导。
8. 避坑指南：

• 证明平均数变化时，切忌使用等差数列等对称分布的数据进行特值检验，应构造偏态分布数据以显现差异。
• 注意文字表述的逻辑严密性，“不大于”意味着“$⩽$”，包含极差可能不变的极端情况（如所有样本数据均相等）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中关于样本数字特征的讨论。
2. 结论推广：在实际应用（如体育比赛评分）中，常采用“去掉一个最高分和一个最低分再求平均”的方法（修约平均数），以消除极端值对整体评价的影响。此过程利用了中位数的稳定性，并降低了数据的波动性（极差和标准差）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.02 百分位数与四分位数

类题演练 (Links)

• 2010-福建卷文-09 单-茎叶图中位数平均数
• 2022-乙卷文-04 单-茎叶图数字特征
• 2008-上海卷文-10 填-中位数与方差最小