2023-新高考I卷-15 填-三角函数性质

本题导读

本题考查余弦函数的图象与性质，以及函数的零点与方程的根。

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）已知函数 $f(x)=\cos \omega x-1(\omega >0)$ 在区间 $[0,2\pi ]$ 内有且仅有 $3$ 个零点，则 $\omega$ 的取值范围是 __________．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方程转化：令 $f(x)=0$，将求零点问题转化为解方程 $\cos \omega x=1$。
2. 整体换元：设 $t=\omega x$，结合 $x\in [0,2\pi ]$ 且 $\omega >0$，求出新自变量 $t$ 的取值范围 $[0,2\pi \omega ]$。
3. 寻找特征根：列出基本方程 $\cos t=1$ 的非负根。
4. 端点卡位：根据“恰有 3 个根”的条件，确定区间右端点 $2\pi \omega$ 必须跨过第 3 个根，但不能触及第 4 个根，列出不等式组即可求解。

✅【答案】

点击查看答案

$[2,3)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：方程转化与换元 由 $f(x)=0$，即 $\cos \omega x-1=0$，得： $\cos \omega x=1$ 令 $t=\omega x$。 因为 $x\in [0,2\pi ]$ 且 $\omega >0$，所以： $0⩽\omega x⩽2\pi \omega ⟹t\in [0,2\pi \omega ]$ 原问题转化为：方程 $\cos t=1$ 在区间 $[0,2\pi \omega ]$ 上恰有 $3$ 个实数根。

第二步：确定特征根的位置 在 $t⩾0$ 时，满足 $\cos t=1$ 的根依次为： $t_1=0,t_2=2\pi ,t_3=4\pi ,t_4=6\pi ,\cdots$

第三步：建立边界不等式组 为保证区间 $[0,2\pi \omega ]$ 内包含且仅包含前 $3$ 个根（即 $0,2\pi ,4\pi$）：

• 区间右端点必须包含 $4\pi$，即 $2\pi \omega ⩾4\pi$；
• 区间右端点不能包含 $6\pi$，即 $2\pi \omega <6\pi$。

联立得到关于 $\omega$ 的不等式组： $4\pi ⩽2\pi \omega <6\pi$

第四步：求解参数范围 不等式各边同除以 $2\pi$，得： $2⩽\omega <3$

【答案】：$[2,3)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的零点分布规律、复合函数自变量区间的整体代换。
2. 核心方法：整体换元法、端点不等式卡位法。
3. 避坑指南：

• 区间端点的开闭判断：当 $2\pi \omega =4\pi$ 时，区间为 $[0,4\pi ]$，恰好包含 $0,2\pi ,4\pi$ 这 $3$ 个根，符合题意，故左侧取等号（$⩾$）；当 $2\pi \omega =6\pi$ 时，区间为 $[0,6\pi ]$，包含了 $0,2\pi ,4\pi ,6\pi$ 共 $4$ 个根，不符合题意，故右侧不可取等号（$<$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查三角函数图象与性质中的参数范围求解，是高考常考的基础综合题型。
2. 结论推广：处理形如 $y=A\sin (\omega x+\phi )+B$ 的零点、极值点个数问题，通用法则为：采用整体换元法设 $t=\omega x+\phi$，明确 $t$ 的取值区间 $[a,b]$；在 $t$ 轴上列出使函数取得对应值（如 $0,\pm A$）的固定特征点；最后根据题目要求的个数，对区间的右端点 $b$（或左端点 $a$）进行不等式卡位。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-08 单-分段函数
• 2014-新课标I卷理-06 单-三角函数的图象
• 2014-江西卷理-03 单-复合函数