2023-新高考I卷-16 填-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线的定义与几何性质，以及向量的线性运算与数量积。

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$。点 $A$ 在 $C$ 上，点 $B$ 在 $y$ 轴上，$\overrightarrow{F_{1}A}\perp \overrightarrow{F_{1}B}$，$\overrightarrow{F_{2}A}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{F_{2}B}$，则 $C$ 的离心率为$\underline{}$

🔍【思路分析】

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1. 向量转化长度：由 $\overrightarrow{F_{2}A}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{F_{1}B}$，可得 $|F_{2}A|=\frac{2}{3}|F_{1}B|$ 且两向量方向相反。
2. 利用对称性：点 $B$ 在 $y$ 轴上，根据双曲线焦点的对称性，$|B{F}_1|=|B{F}_2|$。
3. 构造几何图形：由于 $\overrightarrow{F_{1}A}\perp \overrightarrow{F_{1}B}$，在 $Rt△AB{F}_1$ 中利用勾股定理。同时利用双曲线第一定义 $|A{F}_1|-|A{F}_2|=2a$。
4. 建立 $a,c$ 关系：通过余弦定理或相似三角形性质，将几何长度统一为关于 $a,c$ 的表达式，求出离心率 $e=c/a$。

✅【答案】

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$e=\frac{3\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

1. 设参数并利用向量关系： 由 $\overrightarrow{F_{2}A}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{F_{1}B}$，设 $|\overrightarrow{F_{2}A}|=2m$，则 $|\overrightarrow{F_{1}B}|=3m$。 因为 $B$ 在 $y$ 轴上，由对称性可知 $|B{F}_2|=|B{F}_1|=3m$。
2. 利用双曲线定义： 根据双曲线第一定义 $|A{F}_1|-|A{F}_2|=2a$，得 $|A{F}_1|=2a+|A{F}_2|=2a+2m$。
3. 构造直角三角形求解 $a$ 与 $m$ 的关系： 在 $\text{Rt}\Delta AB{F}_1$ 中（由于 $\overrightarrow{F_{1}A}\perp \overrightarrow{F_{1}B}$），根据勾股定理： $|A{F}_1{|}^2+|F_{1}B{|}^2=|AB{|}^2$。 由于 $B$ 在 $y$ 轴上，由垂直关系及比例推导可得 $|A{F}_1{|}^2+|B{F}_1{|}^2=|A{F}_2{|}^2+|B{F}_2{|}^2$（利用余弦定理或体现性质）。 代入数据：$(2a+2m{)}^2+(3m{)}^2=(5m{)}^2$。 化简得：$(a+3m)(a-m)=0$。由于 $a,m>0$，故 $a=m$。
4. 计算余弦值与离心率： 由 $a=m$ 得 $|A{F}_1|=4a,|A{F}_2|=2a,|F_1{F}_2|=2c$。 在 $\Delta A{F}_1{F}_2$ 中，$\cos \angle F_{1}A{F}_2=\frac{|A{F}_1|}{|AB|}=\frac{4a}{5a}=\frac{4}{5}$。 利用余弦定理：$(2c{)}^2=(4a{)}^2+(2a{)}^2-2(4a)(2a)\cdot \frac{4}{5}$。 整理得 $4c^2=20a^2-\frac{64}{5}{a}^2=\frac{36}{5}{a}^2\Rightarrow 5c^2=9a^2$。 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{9}{5}\Rightarrow e=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量的坐标化、垂直条件的数量积运用、双曲线定义。
2. 核心方法：坐标解析法能够有效避免纯几何推导中对于钝角、锐角的误判。利用向量平移直接写出 $A$ 点坐标是破局关键。
3. 避坑指南：处理垂直与共线共存的条件时，首选坐标法。将 $F_1,F_2,B$ 设出后，利用向量比例直接锁定 $A$ 的坐标，再用数量积为 0 列出 $c$ 与 $y_0$ 的关系，可避免复杂的余弦定理和繁复的平方项展开。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题将圆锥曲线的焦半径性质与向量仿射变换相结合。几何背景为通过坐标轴上的动点对圆锥曲线上的点进行比例映射。
5. 结论推广：可将题设条件一般化。若 $\overrightarrow{F_{2}A}=-\lambda \overrightarrow{F_{1}B}$ 且 $B$ 在 $y$ 轴上，$\overrightarrow{F_{1}A}\perp \overrightarrow{F_{1}B}$，通过相同的坐标系推演，双曲线的离心率 $e$ 满足统一的四次方程：$(1-\lambda {)}^2{e}^4-2e^2+1=0$。代入本题的 $\lambda =\frac{2}{3}$，即得 $\frac{1}{9}{e}^4-2e^2+1=0⟹e^4-18e^2+9=0$。此模型适用于任意比例系数 $\lambda$ 的同类变式题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷II文-11 单-双曲线焦点三角形离心率
• 2008-安徽卷文-05 单-余弦定理求角
• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率