2008-大纲卷II文-11 单-双曲线焦点三角形离心率

本题导读

考查双曲线定义与离心率。设腰 $AB=BC=s$，焦距 $2c=s$；余弦定理 $CA=\sqrt{3}s$，$2a=\sqrt{3}s-s$，$e=\frac{s/2}{(\sqrt{3}-1)s/2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(文)） 设 $△ABC$ 是等腰三角形，$\angle ABC=120^{\circ }$，则以 $A$、$B$ 为焦点且过点 $C$ 的双曲线的离心率为()

A. $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$　　　　　　B. $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$　　　　　　C. $1+\sqrt{2}$　　　　　　D. $1+\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等腰且 $\angle ABC=120^{\circ }$，腰为 $AB$、$BC$：设 $AB=BC=s$。
2. 焦距 $2c=AB=s$，即 $c=\frac{s}{2}$。
3. 余弦定理求 $CA$：$C{A}^2=s^2+s^2-2s^2\cos 120^{\circ }=3s^2$，$CA=\sqrt{3}s$。
4. 双曲线定义（过 $C$，焦点 $A$、$B$）：$|CA-CB|=2a=(\sqrt{3}-1)s$。
5. $e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $\angle ABC=120^{\circ }$ 且 $△ABC$ 等腰，知腰为 $AB$、$BC$，设 $AB=BC=s$. 双曲线以 $A$、$B$ 为焦点，故焦距 $2c=AB=s,c=\frac{s}{2}.$ 由余弦定理， $C{A}^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB\cdot BC\cos 120^{\circ }=s^2+s^2+s^2=3s^2,$ 所以 $CA=\sqrt{3}s$. 点 $C$ 在以 $A$、$B$ 为焦点的双曲线上，由双曲线定义 $2a=|CA-CB|=\sqrt{3}s-s=(\sqrt{3}-1)s,a=\frac{\sqrt{3}-1}{2}s.$ 所以离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\frac{s}{2}}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}s}=\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}.$ 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线定义与焦点三角形

核心方法：$2c=s$，$2a=(\sqrt{3}-1)s$，$e=\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

避坑指南：等腰三角形 $120^{\circ }$ 顶角在 $B$，腰 $AB=BC$；$CA$ 由余弦定理得 $\sqrt{3}$ 倍腰；“以 $A$、$B$ 为焦点过 $C$“直接用定义 $|CA-CB|=2a$；离心率分母有理化收尾。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线定义配解三角形是经典交叉题，2009 安徽文第 6 题、2009 福建文第 4 题同型。

结论推广：$|CA-CB|=2a$；$C{A}^2=s^2+s^2-2s^2\cos 120^{\circ }=3s^2$；$e=\frac{c}{a}$，$\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。

方法推广：先定焦距（谁当焦点），再用余弦定理算第三边，最后用定义出 $2a$；分母有理化后与选项对照。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-06 单-双曲线离心率
• 2009-湖南卷文-13 填-双曲线离心率
• 2009-福建卷文-04 单-双曲线离心率
• 2009-江西卷文-07 单-双曲线离心率