2023-新高考II卷-15 填-直线与圆

本题导读

本题考查直线与圆相交的弦长，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2023年新高考II卷）已知直线 $l:x-my+1=0$ 与圆 $C:(x-1{)}^2+y^2=4$ 交于 $A,B$ 两点，写出满足 “$△ABC$ 面积为 $\frac{8}{5}$” 的 $m$ 的一个值 $\underline{}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定圆的要素：从圆的方程提取圆心 $C(1,0)$ 和半径 $r=2$。
2. 几何建模：$△ABC$ 是以弦 $AB$ 为底，圆心到直线的距离 $d$ 为高的等腰三角形。
3. 面积函数化：利用弦长公式 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$，将面积表示为 $S=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot d=d\sqrt{4-d^2}$。
4. 求解距离 $d$：根据 $S=\frac{8}{5}$ 解出 $d$ 的可能值。
5. 反求参数 $m$：利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 建立关于 $m$ 的等式。

✅【答案】

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2（或 $-2,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$ 之一）

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析圆的几何性质 由圆 $C:(x-1{)}^2+y^2=4$ 可知，圆心 $C(1,0)$，半径 $r=2$。 设圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$，则弦长 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{4-d^2}$。

第二步：建立面积方程 $△ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot d=d\sqrt{4-d^2}$。 由题意 $S=\frac{8}{5}$，得： $d\sqrt{4-d^2}=\frac{8}{5}$ 两边平方：$d^2(4-d^2)=\frac{64}{25}$ 整理得一元二次方程：$25d^4-100d^2+64=0$ 解得 $d^2=\frac{16}{5}$ 或 $d^2=\frac{4}{5}$。 开方取正值（且需满足 $d<r=2$）： $d=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$ 或 $d=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

第三步：利用距离公式求 $m$ 圆心 $C(1,0)$ 到直线 $x-my+1=0$ 的距离为： $d=\frac{|1-m\cdot 0+1|}{\sqrt{1^2+(-m{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{1+m^2}}$

• 情形 1：若 $\frac{2}{\sqrt{1+m^2}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$ 则 $\sqrt{1+m^2}=\frac{10}{4\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}⟹1+m^2=\frac{5}{4}⟹m^2=\frac{1}{4}⟹m=\pm \frac{1}{2}$。
• 情形 2：若 $\frac{2}{\sqrt{1+m^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 则 $\sqrt{1+m^2}=\sqrt{5}⟹1+m^2=5⟹m^2=4⟹m=\pm 2$。

第四步：得出结论 题目要求写出“一个值”，上述四个值中任选其一即可。

故答案为：2（或 $-2,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$ 之一）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的弦长公式 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$、点到直线的距离公式、三角形面积计算。
2. 核心方法：几何分析法、方程求解法。
3. 避坑指南：解出 $d^2$ 后须验证 $d<r$，以确保直线与圆存在交点；题目要求填写“一个值”，勿因多解填错格式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查直线与圆的基本位置关系，侧重几何性质代数化的运算。
2. 结论推广: 对于圆中由弦和圆心构成的三角形，其面积公式 $S=d\sqrt{r^2-d^2}$。由基本不等式可知，当 $d=\frac{\sqrt{2}}{2}r$ 时，三角形面积取得最大值 $\frac{1}{2}{r}^2$。本题中直线 $x-my+1=0$ 恒过定点 $(-1,0)$，且该定点在圆上，可进一步拓展考查过定点的动弦相关极值问题。。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷理-16 填-直线与圆
• 2010-江西卷文-10 单-直线与圆弦长定参
• 2013-辽宁卷理-09 单-直线斜率