2023-新高考II卷-16 填-三角函数图像性质

本题导读

本题考查三角函数的图象性质与周期性。

📌【题干】

Question

（2023年新高考II卷）已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$，如图 $A,B$ 是直线 $y=\frac{1}{2}$ 与曲线 $y=f(x)$ 的两个交点，若 $|AB|=\frac{\pi }{6}$，则 $f(\pi )=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定相位差与频率：令 $\sin X=\frac{1}{2}$，求出标准图象在一个周期内两相邻交点的相位差 $\Delta X$。利用公式 $\omega \cdot |AB|=\Delta X$ 解得 $\omega$。
2. 利用周期性化简：计算函数周期 $T$，利用 $f(\pi )$ 与 $T$ 的关系将其转化为求 $f(0)$。
3. 确定初相求值：结合图象交点位置及 $f(0)$ 的符号，确定初相 $\phi$ 的有效取值，进而算出 $f(0)$。

✅【答案】

点击查看答案

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求频率 $\omega$ 对于标准正弦函数 $y=\sin t$，满足 $\sin t=\frac{1}{2}$ 且相邻（位于波峰两侧）的两个交点相位分别为 $t_1=\frac{\pi }{6},t_2=\frac{5\pi }{6}$。 相位差为： $\Delta t=\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}$ 由题意 $|AB|=\Delta x=\frac{\pi }{6}$，根据相位变换关系 $\omega \cdot \Delta x=\Delta t$，得： $\omega \cdot \frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}⟹\omega =4$

第二步：利用周期性化简 因为 $\omega =4$，所以函数周期 $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$。 因为 $\pi =2T$，故： $f(\pi )=f(2T)=f(0)=\sin \phi$

第三步：确定初相与目标值 由题图特征可知（设 $x_A<0<x_B$ 且波峰在 $y$ 轴右侧），函数在 $y$ 轴附近单调递增，且 $f(0)<0$。 $A,B$ 对应的相位满足： $\{\begin{array}{l}4x_A+\phi =\frac{\pi }{6}+2k\pi \\ 4x_B+\phi =\frac{5\pi }{6}+2k\pi \end{array}(k\in \mathbf{Z})$ 为使 $f(0)=\sin \phi <0$ 且图象处于上升段，取 $\phi =-\frac{2\pi }{3}$。 此时 $f(0)=\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，符合图象特征。

故 $f(\pi )=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。

答案：$-\frac{\sqrt{3}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$、交点距离与相位的对应关系、初相的确定。
2. 核心方法：比例映射法求 $\omega$、周期平移化归法。
3. 避坑指南：求得 $\omega$ 后，直接求 $f(\pi )$ 过程复杂，必须优先观察自变量 $\pi$ 是否为周期 $T$ 的整数倍。确定初相 $\phi$ 时，务必利用图象上 $f(0)$ 的正负及单调性（递增或递减）排除增根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查三角函数图象的平移与伸缩变换，其代数本质是简谐振动模型中波长与相位的关系。
2. 结论推广：若直线 $y=h$ 与函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的相邻交点距离为 $d$，对应标准图象 $y=\sin t$ 在 $y=\frac{h}{A}$ 处的相邻相位差为 $\Delta t$，则必有 $\omega =\frac{\Delta t}{d}$。熟记 $y=\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$ 对应的相位差 $\frac{2\pi }{3},\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{3}$，可实现此类问题的快速求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-07 单-三角图象交点
• 2009-天津卷理-07
• 2015-四川卷文-05 单-奇函数周期