2008-浙江卷文-07 单-三角图象交点

本题导读

本题先用诱导公式把 $\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{3\pi }{2}\right)$ 化为 $\sin \frac{x}{2}$，再在 $x\in [0,2\pi ]$ 上解 $\sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2}$ 的交点个数。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(文)） 在同一平面直角坐标系中，函数 $y=\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{3\pi }{2}\right)$（$x\in [0,2\pi ]$）的图象和直线 $y=\frac{1}{2}$ 的交点个数是()

A. $0$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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1. 由诱导公式 $\cos \left(\alpha +\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \alpha$ 化简函数。
2. 令 $\frac{x}{2}\in [0,\pi ]$，解方程 $\sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2}$ 的根的个数。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由诱导公式，$\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \frac{x}{2}$。 当 $x\in [0,2\pi ]$ 时，$\frac{x}{2}\in [0,\pi ]$。方程 $\sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2}$ 在该区间内的解为 $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{x}{2}=\frac{5\pi }{6}$，即 $x=\frac{\pi }{3}$ 或 $x=\frac{5\pi }{3}$。 所以交点有 $2$ 个，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：诱导公式与图象交点

核心方法：诱导公式化同名，在给定区间解方程数根

避坑指南：$\cos \left(\alpha +\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \alpha$ 符号易错；$\frac{x}{2}$ 的范围要同步换算到 $[0,\pi ]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2010 江苏卷第 10 题、2011 上海文第 17 题同考三角图象交点。

结论推广：图象交点个数等价于方程在区间内根的个数。

方法推广：化简后注意自变量整体（如 $\frac{x}{2}$）的取值范围要同步换算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2010-江苏卷-10 填-三角图象交点
• 2009-山东卷文-03 单-三角图象平移
• 2011-上海卷文-17 单-三角方程解集
• 2010-天津卷文-08 单-三角图象平移伸缩