2023-甲卷文-03 单-向量的坐标运算

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算，以及平面向量的数量积。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷文）已知向量 $\mathbf{a}=(3,1)$，$\mathbf{b}=(2,2)$，则 $\cos ⟨\mathbf{a}+\mathbf{b},\mathbf{a}-\mathbf{b}⟩=$（ ）

A. $\frac{1}{17}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{17}}{17}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$　　　　　　D. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算和径向量与差径向量的坐标：利用向量加减法的坐标运算法则，分别求出 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 的坐标。
2. 计算数量积与模长：利用坐标形式分别计算这两个向量的数量积以及各自的模长。
3. 代入夹角公式求解：将上述计算结果代入向量夹角的余弦值公式 $\cos ⟨\mathbf{m},\mathbf{n}⟩=\frac{\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}}{|\mathbf{m}||\mathbf{n}|}$ 中，化简求得答案。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\mathbf{a}=(3,1)$，$\mathbf{b}=(2,2)$， 所以有： $\mathbf{a}+\mathbf{b}=(3+2,1+2)=(5,3)$ $\mathbf{a}-\mathbf{b}=(3-2,1-2)=(1,-1)$

从而可得这两个向量的数量积为： $(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})=5\times 1+3\times (-1)=5-3=2$

两向量的模长分别为： $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$ $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

设 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 的夹角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})}{|\mathbf{a}+\mathbf{b}|\cdot |\mathbf{a}-\mathbf{b}|}=\frac{2}{\sqrt{34}\times \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{68}}=\frac{2}{2\sqrt{17}}=\frac{1}{\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{17}}{17}$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的坐标线性运算与数量积夹角公式。
2. 核心方法：坐标运算法。将几何性质转化为代数坐标运算。
3. 避坑指南：

• 符号错误：在计算 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 的纵坐标时易将 $1-2$ 误算为 $2-1$ 或 $1+2$。
• 模长化简：$\sqrt{34}\times \sqrt{2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$，注意根式的化简与分母有理化。
• 概念混淆：分子为向量的数量积（结果为实数），切勿写成坐标形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》中平面向量基本定理及坐标表示的课后习题。本题通过坐标法弱化了图形特征，直接考查代数运算。
2. 结论推广：

• 代数推广：若不用坐标法，分子可直接用平方差公式化简：$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})=|\mathbf{a}{|}^2-|\mathbf{b}{|}^2$。由题意 $|\mathbf{a}{|}^2=3^2+1^2=10$，$|\mathbf{b}{|}^2=2^2+2^2=8$，则分子为 $10-8=2$。
• 几何意义：以 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为邻边构成平行四边形，则 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 分别代表该平行四边形的两条对角线。本题本质上是在求该平行四边形两条对角线夹角的余弦值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积