本题导读
本题考查等比数列的前 项和公式，以及等比数列的分段求和性质。
📌【题干】
Question
（2023年甲卷文）记 为等比数列 的前 项和. 若 ，则 的公比为 _______.
🔍【思路分析】
破题导航
- 分类讨论公比：首先判断公比 是否满足条件。若 会导致首项为 0，与等比数列定义矛盾，故 。
- 建立方程：
- 方法一（公式法）：在 的前提下，代入等比数列求和公式 。消去相同项后，将关于 的六次方程转化为关于 的一元二次方程求解。
- 方法二（性质法）：利用等比数列片段和的结构特征，将 拆分为 ，通过整体代换消去 直接求解。
✅【答案】
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✍【详细解析】
Abstract
设等比数列 的首项为 ，公比为 （其中 ）。
若 ，则 ，。 代入已知条件 得： 这与 矛盾，故 。
解法一：基本量公式法 当 时，代入前 项和公式得：
因为 且 ，两边同除以 得：
利用平方差公式将 分解为 ：
若 ，则 ，已证明不符，故 。 两边约去 得：
解法二：整体结构代换法（最优解） 将 按照项的组合进行展开：
因为 ，且 无实数根，所以 。 将 代入已知条件 得：
两边约去 得： 解得：
填空题答案为：。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：等比数列前 项和公式、等比数列的片段和性质。
- 核心方法：整体换元与代换法。利用 的结构关系，避免展开复杂的代数高次方程，降低运算量。
- 避坑指南：
- 忽视公比讨论：使用求和公式前必须严格判定或讨论 的情况，直接默认 属于逻辑漏洞。
- 解方程失误：在解 时，易将解出的 保留，需结合 剔除增根。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第四章《数列》中等比数列前 项和的典型习题。属于考查代数恒等变形与基本公式应用的常规中档题。
- 结论推广：
- 等比数列片段和性质：若数列 是公比为 的等比数列，则其顺次相同项数之和组成的序列 仍为等比数列，公比为 。
- 本题中 与 成等比关系，即 。由已知 ，直接代入得 。
🔗【关联脉络】
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