2023-甲卷文-16 填-正方体与球

本题导读

本题考查正方体的几何性质，以及点到直线的距离（空间距离）。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷文）在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=4$，$O$ 为 $A{C}_1$ 的中点，若该正方体的棱与球 $O$ 的球面有公共点，则球 $O$ 的半径的取值范围是 _______.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确球心位置：由于 $O$ 为体对角线 $A{C}_1$ 的中点，根据正方体的中心对称性可知，$O$ 即为该正方体的中心。
2. 转化空间距离：棱与球面有公共点，意味着球的半径 $R$ 必须落在“球心 $O$ 到正方体所有棱上各点的距离”所组成的集合内。因此，只需计算球心 $O$ 到任一棱上动点 $P$ 距离的最小值 $d_{\min }$ 与最大值 $d_{\max }$。
3. 计算最值：

• 根据对称性，取一条棱（如 $C{C}_1$），设 $P$ 为 $C{C}_1$ 上的动点。
• 当 $P$ 位于棱的中点时，距离取得最小值；当 $P$ 位于棱的端点（即正方体的顶点）时，距离取得最大值。

✅【答案】

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$[2\sqrt{2},2\sqrt{3}]$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $O$ 为正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 体对角线 $A{C}_1$ 的中点，所以 $O$ 为正方体的中心。 正方体的棱长 $a=4$。根据正方体的对称性，中心 $O$ 到 12 条棱的相对位置结构完全一致。

不妨选择棱 $C{C}_1$ 进行研究，设 $P$ 为棱 $C{C}_1$ 上的任意一点（包括端点）。 连接 $OP$，则 $OP$ 的长度即为球心到棱上动点的空间距离。

取棱 $C{C}_1$ 的中点为 $E$，连接 $OE$。 由于 $O$ 是正方体的中心，$E$ 是棱 $C{C}_1$ 的中点，由几何性质可知 $OE\perp C{C}_1$。 在直角三角形 $△OEP$ 中，$\angle OEP=90^{\circ }$，根据勾股定理有： $OP=\sqrt{O{E}^2+E{P}^2}$

1. 求距离的最小值 $d_{\min }$： 当动点 $P$ 与中点 $E$ 重合时，即 $EP=0$ 时，$OP$ 取得最小值。 此时 $d_{\min }=OE$。 由于 $OE$ 为正方体中心到棱 $C{C}_1$ 的垂直距离，可在垂直于 $C{C}_1$ 的中截面（平行于底面且过 $O$ 点）中计算。 该截面为边长为 4 的正方形，$O$ 为正方形中心，$E$ 为正方形一边的中点。 所以： $OE=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$ 即距离的最小值为 $2\sqrt{2}$。

2. 求距离的最大值 $d_{\max }$： 当动点 $P$ 位于棱 $C{C}_1$ 的端点（即点 $C$ 或点 $C_1$）时，$EP$ 长度取得最大值 $EP=\frac{a}{2}=2$。 此时 $OP$ 取得最大值，即 $d_{\max }=OC$ 或 $O{C}_1$。 由于 $OC$ 为体对角线长的一半，正方体的体对角线长为： $A{C}_1=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{4^2+4^2+4^2}=4\sqrt{3}$ 所以： $d_{\max }=OC=\frac{1}{2}A{C}_1=\frac{1}{2}\times 4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ 即距离的最大值为 $2\sqrt{3}$。

综上所述，正方体中心 $O$ 到棱上各点的距离范围为 $[2\sqrt{2},2\sqrt{3}]$。 若球 $O$ 的球面与棱有公共点，则球的半径 $R$ 必须在此范围内。

填空题答案为：$[2\sqrt{2},2\sqrt{3}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正方体的空间结构、空间两点间距离、球与多面体的切接问题。
2. 核心方法：内点到外周的距离极值法。将三维立体的相交问题，转化为点到线段的距离取值区间问题。
3. 避坑指南：

• 误将“中心到面的距离”当做最小值：正方体中心到面的距离为 $\frac{a}{2}=2$，但该垂足落在面中心而非棱上，题目明确要求与“棱”有公共点。
• 边界闭区间漏写：半径取值范围是一个连续的闭区间，书写结果时必须使用区间格式 $[2\sqrt{2},2\sqrt{3}]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第八章《立体几何初步》中关于简单组合体与空间距离的提升练习。是传统的“立体几何外接球与内切球”模型的升级变式，考查从静态向动态过渡的空间想象力。
2. 结论推广：

• 一般化模型：若正方体的棱长为 $a$，其中心为 $O$，则：
  • 中心到各面中心的距离（内切球半径） $r_{\text{内}}=\frac{1}{2}a$。
  • 中心到各棱中点的距离（棱切球半径） $r_{\text{棱}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。
  • 中心到各顶点的距离（外接球半径） $r_{\text{外}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
• 当球与棱有公共点时，半径 $R$ 对应的区间即为 $[r_{\text{棱}},r_{\text{外}}]=\left[\frac{\sqrt{2}}{2}a,\frac{\sqrt{3}}{2}a\right]$。代入 $a=4$，直接可得 $[2\sqrt{2},2\sqrt{3}]$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考理-19
• 2000-新课标理-16 填-空间图形的正投影
• 2002-大纲理-11 单-排列组合与计数原理