2023-甲卷文-17 解-解三角形

本题导读

本题考查余弦定理。核心在于边角互化法、整体代换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷文）记 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $\frac{b^2+c^2-a^2}{\cos A}=2$。

（1）求 $bc$；

（2）若 $\frac{a\cos B-b\cos A}{a\cos B+b\cos A}-\frac{b}{c}=1$，求 $△ABC$ 面积。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问思路：

• 观察已知条件中含有 $b^2+c^2-a^2$，联想到余弦定理 $b^2+c^2-a^2=2bc\cos A$。
• 将其代入已知等式中，约去 $\cos A$ 即可求得 $bc$ 的值。

2. 第（2）问思路：

• 方法一（角化边）：利用余弦定理的边表示形式分别代入分式中的 $\cos A$ 和 $\cos B$，通过因式分解与化简建立关于边长 $a,b,c$ 的代数方程，解出 $\cos A$ 的值。
• 方法二（边化角）：利用正弦定理将分式中的边 $a,b$ 转化为 $\sin A,\sin B$，结合两角和与差的正弦公式化简等式，求得 $\cos A$ 的值。
• 面积计算：由 $\cos A$ 求出 $\sin A$，结合第（1）问的 $bc$ 乘积，代入 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ 计算面积。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $bc=1$

(2) $S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 根据余弦定理，在 $△ABC$ 中满足： $b^2+c^2-a^2=2bc\cos A$

将此式代入已知条件 $\frac{b^2+c^2-a^2}{\cos A}=2$ 中得： $\frac{2bc\cos A}{\cos A}=2$

因为在 $△ABC$ 中，内角 $A\in (0,\pi )$ 且若 $\cos A=0$ 则分母无意义，故 $\cos A\ne 0$。 两边约去 $2\cos A$ 得： $bc=1$

（2）解： 解法一：利用正弦定理（边化角） 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，可将已知等式中的边转化为角： $\frac{\sin A\cos B-\sin B\cos A}{\sin A\cos B+\sin B\cos A}-\frac{\sin B}{\sin C}=1$

分子利用两角差的正弦公式化简，分母利用两角和的正弦公式化简： $\frac{\sin (A-B)}{\sin (A+B)}-\frac{\sin B}{\sin C}=1$

因为 $A+B+C=\pi$，所以 $\sin (A+B)=\sin (\pi -C)=\sin C$。 代入上式得： $\frac{\sin (A-B)}{\sin C}-\frac{\sin B}{\sin C}=1$ $\frac{\sin (A-B)-\sin B}{\sin C}=1⟹\sin (A-B)-\sin B=\sin C$

再次用 $\sin (A+B)$ 代替 $\sin C$： $\sin (A-B)-\sin B=\sin (A+B)$ $\sin (A+B)-\sin (A-B)+\sin B=0$

利用两角和与差的公式展开： $(\sin A\cos B+\cos A\sin B)-(\sin A\cos B-\cos A\sin B)+\sin B=0$ $2\cos A\sin B+\sin B=0$ $\sin B(2\cos A+1)=0$

因为 $B$ 为 $△ABC$ 的内角，所以 $\sin B>0$。 两边同除以 $\sin B$ 得： $2\cos A+1=0⟹\cos A=-\frac{1}{2}$

因为 $A\in (0,\pi )$，且 $\cos A=-\frac{1}{2}$，所以： $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

结合第（1）问中 $bc=1$，$△ABC$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$

解法二：利用余弦定理（角化边） 由余弦定理 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$，$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$。 代入已知等式的分子部分： $a\cos B-b\cos A=a\cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}-b\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}-\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}=\frac{2a^2-2b^2}{2c}=\frac{a^2-b^2}{c}$

同理代入分母部分： $a\cos B+b\cos A=\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}=\frac{2c^2}{2c}=c$

将分子和分母的化简结果代入原等式得： $\frac{\frac{a^2-b^2}{c}}{c}-\frac{b}{c}=1⟹\frac{a^2-b^2}{c^2}-\frac{b}{c}=1$

通分变形为： $\frac{a^2-b^2-bc}{c^2}=1⟹a^2-b^2-bc=c^2⟹a^2-b^2-c^2=bc$

变形可得： $b^2+c^2-a^2=-bc$

将其代入余弦定理公式中： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{-bc}{2bc}=-\frac{1}{2}$

以下求 $\sin A$ 与面积步骤同解法一，可得 $△ABC$ 面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理、余弦定理、三角恒等变换公式、三角形面积计算。
2. 核心方法：边角互化思想。在处理含有边角混合的复杂分式方程时，通过“统一化为角”或“统一化为边”将方程解构。
3. 避坑指南：

• 符号错误：在解法一中，运用两角和差公式展开化简时，减法部分的负号展开容易漏掉括号导致符号错误。
• 忽略范围：求出 $\cos A=-\frac{1}{2}$ 后，由于三角形内角正弦值恒大于 0，无需考虑负根，$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》中解三角形的单元测试题及高考真题基本变形，重点考查三角恒等变形基本功。
2. 结论推广：

• 恒等式性质推广：在任意三角形 $△ABC$ 中，恒有关系式：$a\cos B+b\cos A=c$，这一结论称为射影定理（第一余弦定理）。
• 本题在解法二中，通过代入直接化简分母 $a\cos B+b\cos A=c$，实际上直接运用射影定理即可一步得出分母为 $c$，从而避开了复杂的代数化简过程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-17 解-解三角形与等比数列
• 2015-新课标I卷文-17 解-解三角形
• 2022-浙江卷-18 解-解三角形