2023-甲卷理-01 单-集合运算

本题导读

本题考查集合的交、并、补混合运算。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷理）设全集 $U=\mathbb{Z}$，集合 $M=\{x\mid x=3k+1,k\in \mathbb{Z}\}$，$N=\{x\mid x=3k+2,k\in \mathbb{Z}\}$，则 ${\complement }_U(M\cup N)=$　()

A. $\{x\mid x=3k,k\in \mathbb{Z}\}$　　　　　　　　　　　　B. $\{x\mid x=3k-1,k\in \mathbb{Z}\}$

C. $\{x\mid x=3k-2,k\in \mathbb{Z}\}$　　　　　　　　　　D. $\varnothing$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解全集结构：整数集 $\mathbb{Z}$ 根据被 3 除的余数可以分为三类：

• 余数为 0 的数：形如 $3k$ 的整数；

• 余数为 1 的数：形如 $3k+1$ 的整数；

• 余数为 2 的数：形如 $3k+2$ 的整数。

2. 分析并集：集合 $M$ 和 $N$ 分别代表了余数为 1 和 2 的两类整数。它们的并集 $M\cup N$ 包含了所有被 3 除余数不为 0 的整数。

3. 计算补集：补集 ${\complement }_U(M\cup N)$ 即为全集 $\mathbb{Z}$ 中除去 $M$ 和 $N$ 后的剩余部分，即被 3 整除的数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

1. 整数集的分类（基础准备）：

在整数集 $\mathbb{Z}$ 中，任意一个整数 $x$ 都可以唯一地表示为 $x=3k+r$ 的形式，其中 $k\in \mathbb{Z}$，$r\in \{0,1,2\}$．

故全集 $U=\mathbb{Z}$ 可以写成以下三个不相交集合的并集：

$U=\{x\mid x=3k,k\in \mathbb{Z}\}\cup \{x\mid x=3k+1,k\in \mathbb{Z}\}\cup \{x\mid x=3k+2,k\in \mathbb{Z}\}$

2. 确定集合 $M$ 与 $N$ 的覆盖范围：

已知：

• $M=\{x\mid x=3k+1,k\in \mathbb{Z}\}$（被 3 除余 1 的数）

• $N=\{x\mid x=3k+2,k\in \mathbb{Z}\}$（被 3 除余 2 的数）

  那么 $M\cup N$ 表示所有被 3 除余数不为 0 的整数。

3. 计算补集：

补集 ${\complement }_U(M\cup N)$ 表示属于全集 $\mathbb{Z}$ 但不属于 $M\cup N$ 的元素，即余数为 0 的那一部分：

${\complement }_U(M\cup N)=\{x\mid x=3k,k\in \mathbb{Z}\}$

4. 结论：

对应选项 A 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的并集与补集运算、整数的同余分类。
2. 核心方法：直接运算法、数论分类法。
3. 避坑指南：需识别等价的集合代数表达式，如 $3k-1$ 与 $3k+2$ 表示相同的整数子集。运算时需紧扣全集 $U=\mathbb{Z}$ 的范围特征。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查集合运算的基础概念，代数背景为初等数论中的带余除法与模运算剩余系。
2. 结论推广：对于给定正整数 $n$，全集 $\mathbb{Z}$ 可唯一划分为 $n$ 个模 $n$ 同余类 $A_r=\{x\mid x=nk+r,k\in \mathbb{Z}\}$（$r=0,1,\dots ,n-1$）。若干同余类并集的补集，即为剩余同余类的并集。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷理-03
• 2011-天津卷文-04 单-充要条件判定
• 2012-新课标卷文-01 单-集合的包含关系